阿羅不可能定理源自孔多塞的“投票悖論”，早在十八世紀法國思想家孔多賽就提出了著名的“投票悖論”。
基本介紹
- 中文名：不可能定理
- 外文名： Impossibility Theorem
- 提出者：孔多塞
- 提出時間：十八世紀
研究背景,基本內容,
研究背景
自從約翰·馮·諾伊曼和其他人在1940年代將博弈論帶進數學領域後，有了新的數學工具能用以分析投票制度和投票的策略。這使得投票理論的領域產生重要的改變。肯尼斯·約瑟夫·阿羅提出了阿羅不可能定理，證明在投票制度的評價里，有些標準其實是互相矛盾的，也證明了投票定理的固有限制。
阿羅不可能定理（Arrow's Impossibility Theorem）
1951年，阿羅出版了他的研究社會理論的重要著作《社會選擇和個人價值》，採用數學的公理化方法對通行的投票選舉方式能否保證產生出合乎大多數人意願的領導者或者說“將每個個體表達的先後次序綜合成整個群體的偏好次序”進行了研究。結果，他得出了一個驚人的結論：絕大多數情況下是——不可能的！更準確的表達則是：當至少有三名候選人和兩位選民時，不存在滿足阿羅公理的選舉規則。或者也可以說是：隨著候選人和選民的增加，“程式民主”必將越來越遠離“實質民主”。
基本內容
假設甲乙丙三人，面對abc三個備選方案，有如圖的偏好排序。
甲（a > b > c）
乙（b > c > a）
丙（c > a > b）
註：甲（a > b > c）代表——甲偏好a勝於b，又偏好b勝於c。此處各元素之間為偏序關係，由於偏序符號無法輸入而用不等號代替。
若取“a”、“b”對決，那么按照偏好次序排列如下：
甲（a > b ）
乙（b > a ）
丙（a > b ）
社會次序偏好為（a > b ）
若取“b”、“c”對決，那么按照偏好次序排列如下：
甲（b > c ）
乙（b > c ）
丙（c > b ）
社會次序偏好為（b > c ）
若取“a”、“c”對決，那么按照偏好次序排列如下：
甲（a > c ）
乙（c > a ）
丙（c > a ）
社會次序偏好為（c > a ）
於是我們得到三個社會偏好次序——（a > b ）、（b > c ）、（c > a ），其投票結果顯示“社會偏好”有如下事實：社會偏好a勝於b、偏好b勝於c、偏好c勝於a。顯而易見，這種所謂的“社會偏好次序”包含有內在的矛盾，即社會偏好a勝於c,而又認為a不如c！所以按照投票的大多數規則，不能得出合理的社會偏好次序。
