三重積分

設三元函式f(x,y,z)在區域Ω上具有一階連續偏導數，將Ω任意分割為n個小區域，每個小區域的直徑記為rᵢ（i=1,2,...,n），體積記為Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每個小區域內取點f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若該和式當||T||→0時的極限存在且唯一(即與Ω的分割和點的選取無關)，則稱該極限為函式f(x,y,z)在區域Ω上的三重積分，記為∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

基本介紹

• 中文名：三重積分
• 外文名：Triple integral
• 三重積分號：∫∫∫
• 線性性質：線性性質
• 計算方法：直角坐標系法

定義

設三元函式z=f(x,y,z）定義在有界閉區域Ω上將區域Ω任意分成n個子域Δv_i(i=123…，n）並以Δv_i表示第i個子域的體積.在Δv_i上任取一點 作和 .如果當各個子域的直徑中的最大值λ趨於零時，此和式的極限存在，則稱此極限為函式f(x,y,z）在區域Ω上的三重積分，記為 ，即 ，其中dv叫做體積元素。

三重積分圖示

其中，∫∫∫稱為三重積分號，f(x,y,z）為被積函式，f(x,y,z)dv稱為被積表達式，dv稱為體積元，x、y、z為積分變數，Ω為積分區域， 為積分和。

性質

線性性質

(1) (k為常數)，被積常數中的常數因子可以提到三重積分號外面。

(2)設α、β為常數，則 ，函式的和（或差）的三重積分等於各個函式的三重積分的和或差。

可加性質

如果空間閉區域G被有限個曲面分為有限個子閉區域，則在G上的三重積分等於各部分閉區域上三重積分的和。

不等性質

如果在G上，f(x,y,z)≤φ(x,y,z)，則有，特殊地，若函式f(x,y,z)在Ω上可積，則|f(x,y,z)|亦在Ω上可積，且有。

估值性質

設M、m分別為f(x,y,z)在閉區域G上的最大值和最小值，V為G的體積，則有mV≤≤MV。

積分中值定理

設函式f(x,y,z)在閉區域G上連續，V是G的體積，則在G上至少存在一個點 使得

。

另外由重積分的性質知，當f（M）=1時，三重積分 ，這裡V（Ω）表示空間域Ω的度量，即V（Ω）表示Ω的體積。

計算方法

直角坐標系法

適用於被積區域Ω不含圓形的區域，且要注意積分表達式的轉換和積分上下限的表示方法

⑴先一後二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。

①區域條件：對積分區域Ω無限制；

②函式條件：對f（x,y,z）無限制。

⑵先二後一法（截面法）：先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。

①區域條件：積分區域Ω為平面或其它曲面（不包括圓柱面、圓錐面、球面）所圍成

②函式條件：f（x，y）僅為一個變數的函式。

柱面坐標法

適用被積區域Ω的投影為圓時，依具體函式設定，如設

①區域條件：積分區域Ω為圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合；

②函式條件：f（x,y,z）為含有與 （或另兩種形式）相關的項。

球面坐標系法

適用於被積區域Ω包含球的一部分。

①區域條件：積分區域為球形或球形的一部分，錐面也可以；

②函式條件：f（x,y,z）含有與 相關的項。

幾何意義

三重積分就是立體的質量。

當積分函式為1時，就是其密度分布均勻且為1，質量就等於其體積值。

當積分函式不為1時，說明密度分布不均勻。

套用

設Ω為空間有界閉區域，f（x，y，z）在Ω上連續

• (1)如果Ω關於xOy（或xOz或yOz）對稱，且f（x，y，z）關於z（或y或x）為奇函式，則：
• (2)如果Ω關於xOy（或xOz或yOz）對稱，Ω1為Ω在相應的坐標面某一側部分，且f（x，y，z）關於z（或y或x）為偶函式，則：
• (3)如果Ω與Ω’關於平面y=x對稱，則：