三角形奠基法(construction method by frist construct some triangle)是題解作圖的一種常用方法。三角形是最簡單的多邊形，因此，只要很少的條件，就可把它作出來，在有些作圖題中，先作成所求圖形中的某個三角形，實際上便奠定了全部圖形的基礎，由此就可以逐步做出其餘部分，這樣的三角形，可稱奠基三角形。利用奠基三角形作為基礎來解作圖題，叫做三角形奠基法。這個方法在作圖中經常套用，有許多問題藉助它可獲得解決。
基本介紹
- 中文名：三角形奠基法
- 外文名：construction method by frist construct some triangle
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：平面幾何(尺規作圖)
- 簡介：題解作圖的一種常用方法
基本介紹,例題分析,
基本介紹
解某些作圖題時，如果先作出圖形中的某個三角形，然後在此基礎上作出所要求作的圖形，此種解作圖題的方法稱為三角形奠基法，該三角形稱為作圖的奠基三角形。
例如，已知四條線段a，b，c，d，求作梯形ABCD，使AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，AB∥CD。該作圖題的思路要點是：假設梯形ABCD已經作出，且AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，作DE∥BC，則DE=b，AE=a-c，於是△AED可以確定(如圖1)，並成為奠基三角形，在此基礎上，所求作的梯形極易作出，當a，b，a-c中最大者小於其他兩線段之和時該作圖題有解，否則無解。
圖1例如，已知三角形的邊a，以及這邊上的高ha和中線ma，作此三角形。如下圖所示。假定△ABC已作出。由條件知Rt△AHM是確定的，以該三角形為基礎，作出BC=a，則得B、C兩點。連結AB、AC，就得到△ABC。
圖2例題分析
【例1】已知第一邊的長，第二邊上的高，第三邊上的中線，求作三角形。
圖3已知 三線段a、h、m3。
求作 △ABC，使邊BC=a，高BE=h2，中線CF=m3。
分析 設圖已成(圖3)，在直角三角形△BCE中，已知斜邊BC=a及一腰BE=h2，故此三角形得以確
定，確定此三角形後，若延長BC至D使CD=a，並連DA，則DA=2CF=2m3；因此A點可求。
定，確定此三角形後，若延長BC至D使CD=a，並連DA，則DA=2CF=2m3；因此A點可求。
作圖 先作△BCE，使
∠BEC=90°，BE=h2，BC=a，
其次延長BC至D，使CD=a，最後以D為圓心、2m3為半徑畫弧設交直線CE於A，並連AB。這樣作得△ABC就是所求三角形。
∠BEC=90°，BE=h2，BC=a，
其次延長BC至D，使CD=a，最後以D為圓心、2m3為半徑畫弧設交直線CE於A，並連AB。這樣作得△ABC就是所求三角形。
證明 作出△ABC的中線CF，由於BC=CD，得知
推究 本題有無解答，只與a和h2的大小有關係；而解答個數，則和三已知線段的長短都有關聯，其各種情形可歸納如下：
(1) a>h2時，若
1° h2<2m3≠a，則有二解；
2° h2=2m3或a=2m3，則有一解；
3° h2>2m3，則無解。
(2) a=h2時，若
1° h2<2m3，則有一解；
2° h2≥2m3，則無解。
(3) a<h2時，無解。
