三次曲面上的有理點及殆素數點分布問題研究

《三次曲面上的有理點及殆素數點分布問題研究》是依託上海大學，由王玉超擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：三次曲面上的有理點及殆素數點分布問題研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：王玉超
• 依託單位：上海大學

中文摘要

代數簇上的整數點或有理點分布是數學中一個重要的研究領域。對於Fano代數簇，Manin猜想預測了其有理點的分布。三次曲面作為一類特殊的Fano代數簇，其Manin猜想問題引起了廣泛關注。然而，目前仍有很多三次曲面的Manin猜想問題懸而未決。另一方面，素數分布是數論研究的核心內容之一。近年來，受到Sarnak關於素數分布的猜想的啟發，研究各類代數簇上殆素數點的分布成為熱點。本項目旨在將代數幾何與解析數論相結合，採用光滑三次曲面的單有理性、二次曲線叢結構、泛異面直線理論、圓法和加權篩法等工具，研究三次曲面上的有理點及殆素數點分布問題。具體地，我們將研究特定的奇異三次曲面的Manin猜想問題，建立曲面上限定高度的有理點個數的漸近公式；此外我們還將研究三類三次曲面上的殆素數點分布問題，探索素數分布的規律以及三次曲面所具有的幾何結構對其算術性質的影響。

結題摘要

素數分布理論是數論研究中的一個重要領域。受到Sarnak關於素數分布的猜想的啟發，研究各類代數簇上殆素數點的分布成為熱點。另一方面，研究代數簇上的整數點或有理點分布是數學的核心內容之一。對於Fano代數簇，Manin猜想預測了其有理點的分布。三次曲面作為一類特殊的Fano代數簇，其Manin猜想問題引起了廣泛關注。然而，對於三次曲面或Fano代數簇上殆素數點的分布研究仍較少。本項目結合了代數幾何與解析數論，利用光滑三次曲面的單有理性、二次曲線叢結構、圓法和加權篩法等工具，研究三次曲面上的殆素數點分布問題。具體地，我們建立了所有單有理代數簇的飽和數上界，以更好地理解素數分布的規律。該結果不僅僅是對某一特定的三次曲面，而是覆蓋了一大類代數簇。同時，對於某些具有特定幾何性質的代數簇，如Fermat三次三維體，我們得到了更好的結果。這表明了代數簇所具有的幾何結構與其算術性質的聯繫。此外，我們將解析數論的工具套用到研究丟番圖逼近問題及Möbius正交性問題中，也得到了相應的結果。本項目探索了解析工具在解決代數幾何問題中的作用，所發展的方法將在後續研究中有更多的套用。