三力平衡匯交定理

當物體受到同平面內不平行的三力作用而平衡時，三力的作用線必匯交於一點。即物體在互相不平行的三個力作用下處於平衡狀態時，這三個力必定共面共點，合力為零。

基本介紹

• 中文名：三力平衡匯交定理
• 外文名：The three force balance intersection theorem
• 套用學科：物理學
• 實質：共點力平衡原理的重要推論

內容

弱定理：剛體受三個互不平行但共面的力作用而平衡時，這三個力的作用線必匯交於一點。

強定理：作用於物體上的三個相互平衡、但又不互相平行的力，若其中兩個力的作用線匯交於一點， 則此三力必在同一個平面內，且第三個力的作用線通過前兩個力的匯交點。

證明

反證法

若三力在同一平面內但不共點且不平行，則取任意兩個力的交點作為支點，那么這兩個力不產生力矩而第三個力不經過支點必定產生力矩，整個體系就不平衡了。若經過該點但不共面，同樣會產生該方向的加速度，體系仍不平衡。故三力共面且力的作用線交於同一點。

直接證明

如圖1所示，在F1、F2、F3三力的作用線上分別取不共線的三點A、B、C 並相互連線，組成平面ABC。現考慮三力對AB軸的矩，由於F1、F2通過AB 軸，故對AB軸的力矩均為零。由三力平衡知,三力對任一軸的力矩之和均為零。由此知，F3對AB軸的力矩也為零，故F3與AB軸的位置關係只可能有平行或相交兩種情形（具體請參見力矩平衡）。由這兩種情形的任一種均可得出F3必在平面ABC上的結論。同理可證，F1、F2也必在平面ABC上。於是必有F1、F2、F3三力共面。

如圖2所示，在剛體的A、B、C三點上分 別作用三個力F1、F2、F3，使剛體處於平衡。其中F1、F2的作用線匯交於一點 O。根據力的可傳性，將力F1和F2移到匯交點O，然後根據力的平行四邊形法則，求得其合力F12，則F3應與 F12平衡。根據二力平衡公理，力F3與F12共線。所以，力F3必定與力F1和F2共面，且通過力F1和F2的匯交點O。

數學建系證明

（1）假設作用在剛體上的不平行的三個力分別為F₁、F₂、F₃。建立以F₁作用點為原點，作用線為X軸，方 向為X軸正方向的空間直角坐標系。根據力的可傳性，將F₂、F₃的作用點沿其力的作用線平移至XOY平面 內，設其坐標分別為：A₂(x_2，y_2，0)；A₃(x_3，y_3，0)

（2）根據力矩平衡和受力平衡列出方程：

，

,

對於Y、Z方向，列相同的力和力矩平衡方程。

（3）解方程組，得：

F_z2=F_z3=0，F₂、F₃和F₁在XOY平面上，再由二力平衡的條件得出共點。（同直接證明）

F_z2·F_z3≠0，設F₂、F₃尾線連線交平面XOY於A₄（x_4，y_4，0），解得：

故，焦點位於X軸上，所以F₂、F₃和F₁在XOZ平面上，再由二力平衡的條件得出共點。

溯源

三力平衡匯交定理，是由共點力平衡原理推導出的重要推論。

套用

三力平衡匯交定理是物理學中常用的解題手段，在工程設計、施工和驗收中也有重要意義。它描述了靜力學中平衡狀態的重要條件，在解題中為我們限定了力的方向，提供了新的方程，簡化了解題過程。