三元齊次線性方程組

三元齊次線性方程組(system of ternary homogeneous linear equations)亦稱三元一次齊次方程組，是一種特殊的線性方程組，即方程組中的各個方程的常數項都是零的三元線性方程組。在初等數學中，三元齊次線性方程組常指a_ix+b_iy+c_iz=0(i=1,2,3)組成的方程組。三元齊次線性方程組總有零解(x，y，z)=(0，0，0)，當係數行列式不等於零時，它只有零解，當係數行列式等於零時，有無窮多個非零解。

基本介紹

• 中文名：三元齊次線性方程組
• 外文名：system of ternary homogeneous linear equations
• 別稱：三元一次齊次方程組
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：初等代數（方程）

基本介紹

三元齊次線性方程組是指常數項為零的三元線性方程組，實數域R上以x，y，z為元的三個方程所組成的三元齊次線性方程組的標準形式是

顯然，定有解x=y=z=0，這是方程組的零解。當方程組的係數行列式D不為零時，它只有唯一的零解，當係數行列式D為零時，方程組除零解外，還有無數個非零解。

例如，方程組

的係數行列式D=2≠0，方程組有唯一的零解。

又如，方程組

的係數行列式D=0，而

故可將方程 (1)， (2) 寫成

而解得

令z=t，則可得方程組的解為

(t可取任何實數)。

齊次線性方程組

齊次線性方程組(system of homogeneous linear equations)是指常數項全為零的線性方程組，即線性方程組

x₁=0，x₂=0，…，x_n=0顯然是它的一個解，稱為零解，其他的解稱為非零解，齊次線性方程組的兩個解(解向量)的和，以及任意數與任意解(解向量)的乘積，仍為該齊次線性方程組的解(解向量)。齊次線性方程組任意一組解(解向量)的線性組合仍為該齊次線性方程組的解(解向量).因此，齊次線性方程組的全體解向量構成一個向量空間，稱為齊次線性方程組的解空間.設AX=0是數域P上m個方程的n元齊次線性方程組，則方程組AX=0有非零解的充分必要條件是矩陣A的秩r(A)<n。當m=n時，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是它的係數行列式等於零。