三人決鬥又名三人對決、槍手博弈，是一個博弈論中的經典情形。由三人按照固定順序輪流射擊。輪到每個人時，他可以在另外兩人中選擇一人作為目標。對決一直進行到只剩下一個人為止。三人射擊的命中率 pA、pB、pC 各不相同。問題要尋找三人的最優策略和勝出機率。三人決鬥有同時射擊和輪流射擊的版本。
基本介紹
- 中文名：三人決鬥
- 外文名：truel (game theory)
- 別名：三人對決、槍手博弈
- 學科背景：博弈論、機率論
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問題背景
決鬥 (duel) 通常是兩個人之間的實力較量。當參與較量的人數多於兩個時，就會存在一些策略的空間，屬於博弈論的研究範圍。例如在三人決鬥 (truel) 中，我們會發現槍法最準的神槍手往往並不是活到最後的那一個，人畜無害的爛槍法只要策略得當，反而有較大的機率贏得最後的勝利。三人決鬥的模型可以推廣到人數更多的情形，策略也越來越複雜。我們先從二人決鬥的情形開始分析。
二人決鬥情形
在二人決鬥 (duel) 中，如果 A、B 二人的命中率為 pA、pB，由 A 先射擊，則 A 最後活下來的機率為
因此 B 最後活下來的機率 SB = 1 – SA = (1 – pA) pB / (pA + pB – pA pB). 可見二人決鬥存在先發優勢，兩人的槍法一樣準時，先射擊的一方勝利的機率較大。除先發優勢外，己方槍法越好、對方槍法越差，無疑己方勝出的可能性越大。
三人決鬥情形
設 A、B、C 三人輪流選擇目標射擊。三人命中率滿足 pA ＜ pB ＜ pC. 當 A 先射擊時，他不會選擇 B 作為目標，因為 C 顯然是更大的威脅。同樣，B 也會選擇 C 作為目標，C 則會選擇 B 作為目標。所以 A 會產生一個擔心：萬一自己的爛槍法不小心把 C 幹掉了，無疑是幫助 B 解決了最大的威脅。這會導致遊戲進入 A、B 二人決鬥，而且是 B 先發。所以 A 還有一個選擇就是放空槍，故意不打中 C，以等待 B 去幹掉 C，然後自己在 A、B 二人決鬥中處於先發的位置。
A 的策略一：聯合 B
由於 B、C 二人的射擊目標是固定的，主要問題是討論 A 的策略究竟是聯合 B 一起對付 C，還是等待 B 去幹掉 C. 如果 A 選擇前者，則遊戲進入 A、B 對決（B 先發）的機率設為 PBA，進入 A、B 對決（A 先發）的機率設為 PAB，進入 A、C 對決（A 先發）的機率為 PAC，三者之比滿足
三種情況發生的機率之和 PBA + PAB + PAC = 1，而 A 取勝的機率為
A 的策略二：等待 B
如果 A 選擇放空槍，等待 B 去幹掉 C，則 PBA = 0，而 PAB 和 PAC 的機率都有所上升。我們有
而 SA 仍由上節的式子給出，只是三種對決 PBA、PAB、PAC 出現的機率發生了變化。於是 A 要比較兩種策略，選擇有利於自己的策略執行。最後 A 採用聯合 B 的策略的條件是
當共同的對手 C 足夠強大時，A 會選擇和 B 聯合，以儘量避免自己單獨同 C 對決。否則 A 會選擇觀望，等 B 幹掉 C 以獲得自己在 A、B 對決中的先發優勢。A 的這種等待策略與智豬博弈裡面小豬的策略有些相似。
結論與啟示
為什麼實力最弱的 A 成為了策略的焦點？事實上，類似的例子在歷史上很常見。楚漢相爭，韓信的力量；三國鼎立，劉備的力量；美蘇爭霸，中國的力量，講的都是同一個故事。《資治通鑑》中記載 “當今二王之事，權在足下”。實力最弱的 A 事實上起著平衡 B、C 力量對比的關鍵作用。只要 A、B、C 的策略得當，A 常常可以充分利用 B、C 之間的爭鬥，以及自己的先發優勢，取得大於 1/3 的勝出機率。
