槍手博弈

槍手博弈（truel）是指三人之間的決鬥，即三人持槍互相射擊，每個人都想在決鬥中最終生存下來，是兩人決鬥的一種擴展。

基本介紹

• 中文名：槍手博弈
• 外文名：truel

簡介

槍手博弈是指三人決鬥，其英文“truel”正是由雙人決鬥“duel”加上表示數字3的前綴得來。三人決鬥的場景早在1836年出版的小說Mr. Midshipman Easy中就有描寫，小說中的三人決鬥呈現出循環的結構：第一人瞄準第二人，第二人瞄準第三人，第三人瞄準第一人。而電影《黃金三鏢客》中最後三名主角持槍對峙的著名場面也是槍手博弈很好的體現。

從博弈論的角度分析，一個槍手博弈可由以下不同的設定決定：

1. 三人擊中自己所選定目標的機率；
2. 三人同時開槍還是順序開槍，如果是順序開槍，順序是事先決定的還是隨機生成的；
3. 三人的槍中各有幾發子彈；
4. 是否允許故意不擊中目標。

策略與均衡

在槍手博弈中，每名參與人的主要目標都是儘可能生存到最後，也即成為最後一名生存的玩家，或有多名玩家存活，但其他玩家都已經沒有子彈；參與人也可能具有次要目標，如想要最終存活的玩家數量儘可能少。槍手博弈中每名參與人的可以做出的決策有兩種：選擇向另外兩名玩家中的哪一名射擊；以及如果允許故意不擊中目標的話，是否選擇故意不擊中。理性的參與人會做出儘可能提升自身生存機率的決策。

由於槍手博弈的設定多樣，進行完整的分析非常複雜，下面僅選取兩個典型例子進行分析。

同時開槍的情形

不妨將三人的位置固定為1，2，3，並設三人命中率分別為a，b，c。設集合{i，j，k}={1，2，3}，不允許故意不擊中目標，那么槍手博弈中玩家i實際只有兩種策略可選：選擇向j射擊或者選擇向k射擊，我們將這兩種策略分別記為 與。並設三人同時開槍，且設每人有1發子彈，每人的收益只與自身最終是否存活有關，若存活則獲得收益1，若死亡則獲得收益0。

由上面的描述，我們實際將槍手博弈建模成為了三人的標準型博弈（normal-form game），且每人均有兩種純策略。而在此模型中我們發現，任意策略組合均為納什均衡。這是因為：任何一位玩家的期望收益（也即存活機率），只與其餘兩人的策略有關，而與自己的策略無關，故玩家無論如何單方面改變自己的策略都只會獲得相同的收益，也即任何策略組合都是納什均衡。

上述博弈確實是平凡的，但如果子彈的數量大於1，也即槍手博弈可能將進行多輪，那么均衡分析將不再是平凡的。設每人有m+1發子彈，其中，並記上述博弈為，那么博弈按照如下規則進行：

1. 首先進行，如果進行之後三人均存活且至少還有1發子彈，將再次進行；
2. 玩家可獲得的信息僅僅是當前還有哪些人存活，而並不能知道上一輪其他玩家選擇向誰射擊；
3. 如果一位玩家死亡，剩下的兩名玩家至少還有1發子彈，那么博弈將由這兩名玩家繼續進行，此時實際上兩名玩家只有一種選擇：向對方射擊。

例如m=1時每人均有2發子彈，那么我們就得到了博弈，Kilgour最早研究了此類博弈。關於的納什均衡，有下面的定理：

定理：至少有一個純策略納什均衡，記由a，b，c決定的三個參數，，，對於純策略均衡有下面詳細的刻畫：

1. 當時，均衡為與；
2. 當時，均衡為：
3. 與，如果；
4. 與，如果；

當時，均衡為：

1. 與，如果；
2. 與，如果；

當時，均衡為：

1. ，如果；
2. ，如果；
3. ，如果且；

順序開槍的情形

此時不妨假設三名玩家按照某種順序開槍，且不允許故意不擊中目標，每名玩家都有無限數量的子彈，每名玩家唯一的目標就是成為最後一名生存的玩家。此時很明顯此博弈的結局只有1名玩家存活。此時無論其他玩家策略如何，某位玩家的最大化自身生存機率的策略均為：向其他兩人中命中率較高的人開槍（stronger-opponent strategy）。使用這種策略的原因很簡單：如果玩家這次射擊沒有命中，那么無論選擇誰作為目標實際上對生存機率沒有影響；如果這次射擊命中了，那么選擇射擊命中率較高的人可以讓自己進入兩人決鬥時的對手更弱。

不妨設三名參與人的命中率分別是a，b，c，並設a>b>c。此時我們常常關注的是參與人命中率與其生存機率的關係，一般的結論是：在順序開槍的槍手博弈中，槍法最差的人最有可能活到最後。但這一結論只是定性描述，下表給出了一些具體的例子，說明了命中率最低的玩家不一定有著最高的生存機率，且生存機率關於命中率是數值敏感的。

順序槍手博弈（順序隨機生成）中可能的生存機率排序

命中率			生存機率			生存機率排序
a	b	c
0.9	0.5	0.1	0.540	0.333	0.127
0.9	0.5	0.3	0.397	0.294	0.309
0.8	0.7	0.2	0.376	0.412	0.212
0.6	0.5	0.25	0.314	0.370	0.316
0.8	0.5	0.4	0.314	0.294	0.392
0.8	0.6	0.4	0.296	0.333	0.370

上表第一行中，參與人1的命中率最高，但是他的生存機率也最高。這是因為其命中率0.9遠高於其他兩人，即使會受到其他兩人的攻擊也更有可能生存下來並成功命中其他兩人。對比表中最後兩行，我們可以發現最後一行中參與人2的命中率提高了僅0.1，但這不僅沒有使得自身生存機率下降，反而使生存機率上升了一些，反超了參與人1的生存機率。