一類兩分支非線性淺水波方程的若干問題研究

《一類兩分支非線性淺水波方程的若干問題研究》是依託西南大學，由張雙虎擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：一類兩分支非線性淺水波方程的若干問題研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：張雙虎
• 依託單位：西南大學

項目摘要

研究包含Camassa-Holm 方程和Degasperis-Procesi 方程為其特殊情形的b 族方程初值問題和初邊值問題的局部適定性，相應強解的爆破機制和強解的爆破，強解的整體存在性，整體弱解的存在性和唯一性，以及研究 peakon 解和激波解的軌道穩定性；研究two-componet b 族方程初值問題和初邊值問題的局部適定性，整體弱解的存在性和唯一性，以及研究 peakon 解和激波解的軌道穩定性。

結題摘要

水波理論的研究是過去200多年間的熱點問題。2000年 Clay 研究所公布21世界的七個“百萬問題”，描述流體運動的著名方程 Navier-Stokes 方程赫然是其中之一。一方面，描述淺水運動的方程是Euler方程在淺水波範圍的逼近方程；另一方面，淺水波模型既能描述波的破裂現象，又能描敘孤立子現象。因此，對淺水波問題的研究就具有很重要的理論意義。本項目研究了幾類非線性淺水波模型的一些性態，主要包括適應性、強解的爆破和整體存在性以及整體弱解的存在性和唯一性等。在本項目的支持下，我們完成了項目的研究目標，提出了一些新的方法和觀點，主要獲得了以下幾個方面的成果。 (1) 完善了修正 Camassa-Holm（修正CH）方程強解的爆破結果。Camassa-Holm （CH）方程和其相關的淺水波模型，當初始動量變號時，奇異性仍會以波的破裂的形式產生。和已知的研究結果相比，我們的研究結果不僅表明修正 CH 方程當初始動量變號時，波的破裂現象仍可能會發生；而且，通過技術和方法的改進，我們改進了別的研究團隊獲得的結果。(2) 提出了帶有色散項修正 CH 方程強解的爆破結果。淺水波模型當色散項不為零時，由於沿著特徵線動量恆為常數這一守恆性質不再成立，現有的技術方法無法解決強解的奇異性形成這類問題。通過技術方法的改進和革新，構造新的守恆量和估計，我們成功獲得了帶有色散項修正 CH 方程強解的爆破結果。(3) 建立了淺水波模型爆破的“局部”準則。CH 方程及其相關模型當初值滿足特定條件時能形成奇異性，並且奇異性只能以波的破裂的形式產生。然而在奇異性形成的分析中，都要用到它們本身具有的守恆率性質，這些守恆率往往由模型的“整體”性態來決定。由最新的研究結果啟發，我們成功建立了修正 CH 方程強解的“局部”爆破準則，這一結果取消了初值對“整體”性態的依賴。（4）建立了修正 CH 方程強解的不適應性問題。當初始動量的正則性較低時，我們證明了修正 CH 方程強解在適當空間的不適應性問題，並且不適應性是因解對初值不連續依賴而造成。 通過本項目的研究，我們獲得了一些新的研究思路和研究方法，而且得到了與淺水波模型相關的水波模型的一些理論研究結果。這些方法和結果，可用於解決項目後續的兩分支淺水波模型和Euler方程的相關問題。