Г函式

Г函式是含參變數的以無窮乘積函式定義的反常積分。作為歐拉積分中一個重要的積分，它與B函式存在一定的聯繫。並且它在定積分也有重要的套用。

基本介紹

• 中文名：伽馬函式
• 外文名：gamma funtion
• 屬於：歐拉積分
• 性質：含參變數的反常積分
• 套用：簡便積分運算

函式形式

含參變數α(α>0)的反常積分：

性質

收斂性

Φ（s）的收斂性：當s≧1時是正常積分，所以其收斂；當0〈s〈1時，由柯西判別法可推得其是收斂的。

Ψ（s）的收斂性：當s〉0時，由柯西判別法推得其是收斂的。

故含參量積分Γ（x）在s〉0時收斂，其定義域為s〉0。

連續性

在任何閉區間[a,b]（a>0）上，對於函式Φ（s），當0〈x≦1時有 ≦ ，由於 收斂，從而Φ（s）在[a,b]上收斂；對於Ψ（s），當1≦x〈+∞時，有 ≦ ，由於 收斂，從而Ψ（s）在[a,b]上也一致收斂。於是Γ（s）在s〉0上連續。

可導性

考察積分 = 。它在任何區間[a,b](a〉0)上一致收斂。於是由含參量反常積分的可微性得出Γ（s）在[a,b]上可導，由a，b的任意性，Γ（s）在s〉0上可導。

遞推公式

證明：

對下述積分套用分部積分法，有

令 就得到Γ函式的遞推公式：

推論：

當s趨於0時， Γ（s）趨於+∞

Γ函式的圖像

對於一切 ， 和 恆大於0，因此 的圖像位於s軸的上方，且是向下凸的。因為 ，所以 在 上僅存在的極小值點 且 。又 在 內嚴格增，在 內嚴格減。

由於

所以

由 和 在 上嚴格增可得：

綜上所述， 函式的圖像如圖1中s>0部分所示 。

圖1.伽馬函式

Γ函式與Β函式之間的關係

對於任意的實數p，q：

套用

已知 ，試證 。

證明：