Г函式

Г函式

Г函式是含參變數的以無窮乘積函式定義的反常積分。作為歐拉積分中一個重要的積分,它與B函式存在一定的聯繫。並且它在定積分也有重要的套用。

基本介紹

  • 中文名:伽馬函式
  • 外文名:gamma funtion
  • 屬於歐拉積分
  • 性質:含參變數的反常積分
  • 套用:簡便積分運算
函式形式,性質,收斂性,連續性,可導性,遞推公式,Γ函式的圖像,套用,

函式形式

含參變數α(α>0)的反常積分

性質

收斂性

Φ(s)的收斂性:當s≧1時是正常積分,所以其收斂;當0〈s〈1時,由柯西判別法可推得其是收斂的。
Ψ(s)的收斂性:當s〉0時,由柯西判別法推得其是收斂的。
含參量積分Γ(x)在s〉0時收斂,其定義域為s〉0。

連續性

在任何閉區間[a,b](a>0)上,對於函式Φ(s),當0〈x≦1時有 ≦ ,由於
收斂,從而Φ(s)在[a,b]上收斂;對於Ψ(s),當1≦x〈+∞時,有
,由於
收斂,從而Ψ(s)在[a,b]上也一致收斂。於是Γ(s)在s〉0上連續。

可導性

考察積分
=
。它在任何區間[a,b](a〉0)上一致收斂。於是由含參量反常積分的可微性得出Γ(s)在[a,b]上可導,由a,b的任意性,Γ(s)在s〉0上可導。

遞推公式

證明:
對下述積分套用分部積分法,有
就得到Γ函式的遞推公式:
推論:
當s趨於0時, Γ(s)趨於+∞
Г函式

Γ函式的圖像

對於一切
恆大於0,因此
的圖像位於s軸的上方,且是向下凸的。因為
,所以
上僅存在的極小值點
。又
內嚴格增,在
內嚴格減。
由於
所以
上嚴格增可得:
綜上所述,
函式的圖像如圖1中s>0部分所示
圖1.伽馬函式圖1.伽馬函式
Γ函式與Β函式之間的關係
對於任意的實數p,q:

套用

已知
,試證
證明:

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