設有數列An,Bn 若Bn>0遞增且有n-->+∞時Bn-->+∞（以下lim均表示lim(n-->+∞）） 則有： 若lim(A(n+1）-An)/(B(n+1）-Bn)=L(L可以是0,有限數，或+∞（-∞））==>lim(An)/(Bn)=L
基本介紹
- 中文名：施托茲定理
- 外文名：O'Stolz
- 別稱：O'Stolz定理、施托爾茲定理、施烏茲定理
- 表達式：lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=L、
- 提出者：Stolz
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：數學、理工科
- 適用領域範圍：數學領域、理工領域
基本信息,證明如下,
基本信息
設有數列An,Bn 若Bn>0遞增且有n→+∞時Bn→+∞（以下lim均表示limn→∞）
則有：
若lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=L（L可以是0，有限數，或+∞（-∞））
→lim(An)/(Bn)=L
則有：
若lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=L（L可以是0，有限數，或+∞（-∞））
→lim(An)/(Bn)=L
證明如下
1）當L=0時
由條件得：
對任意e>0 存在N使 當n>N時有：
|(An+1-An)/(Bn+1-Bn)-L|<e，即|(An+1-An)/(Bn+1-Bn)|<e;
又Bn>0遞增且有n-->+∞時Bn-->+∞，
原式化為：|An+1-An|<e*(Bn+1-Bn)......⑴；
固定e，則存在N1>=N，當n>N1時，有
-e*BN+|AN|<e*Bn
即|AN|<e*(BN+Bn) ..........⑵重要！！！！！
|An|<=|An-An-1|+|An-1-An-2|+....+|AN+1-AN|+|AN|，代入⑴式，得：
<=e*(Bn-Bn-1）+.....+e(BN+1-BN)+|AN|，代入⑵式，得：
<e*(Bn-BN)+e*(Bn+BN)
即|An|<2e*Bn
故|(An)/(Bn)-0|<2e
由數列定義知lim(An)/(Bn)=0
2）當L=C (C!=0）時
即有lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=C,
令Cn=An-C*Bn,
顯然有lim(Cn+1-Cn)/(Bn+1-Bn)=0,
由1）得：
故lim(Cn)/(Bn)=0,
即有lim(An)/(Bn)=C,
3）當L=+∞（L=-∞時類證）時
存在N，當n>N時
有（An+1-An)/(Bn+1-Bn)>1
得出An>Bn>0，且滿足An>0遞增且有n-->+∞時An-->+∞
所以lim(Bn+1-Bn)/(An+1-An)=0+ (0+即從正數趨近於0)
由1）得：
lim(Bn)/(An)=0+
故lim(An)/(Bn)=+∞
證畢
