s脫殊集

脫殊集亦稱兼納集。力迫法的一個概念。設M為一個非空集合，P為M中的偏序集，P∈M，若G⊂P為P的濾子，且對任何P的稠密子集D，D∈M→G∩D≠∅，則稱G為M上的P脫殊集，或稱G為P的脫殊子集。

s脫殊集(s-generic set)是類似e脫殊集的一個概念。它是傑克什(Jockusch，C.G.)給出的。即將e脫殊集定義中的“遞歸枚舉的前節”換為“特徵函式的前節”後得到的概念。

基本介紹

• 中文名：s脫殊集
• 外文名：s-generic set
• 領域：集合
• 性質：類似於e脫殊集
• 本質：脫殊集
• 提出者：傑克什

概念介紹

s脫殊集(s-generic set)是類似e脫殊集的一個概念。它是傑克什(Jockusch，C.G.)給出的。即將e脫殊集定義中的“遞歸枚舉的前節”換為“特徵函式的前節”後得到的概念。具體地，對C⊆2與re集A的遞歸枚舉{A_s}_s∈ω，如果存在原始遞歸函式q，使得對任何σ₀⊆C_A(σ₀∈2)，存在s>|σ₀|與τ∈C，使得|τ|≤q(s)，τ⊇σ₀，且對所有n∈A_s有τ(n)=1，則稱C沿{A_s}_s∈ω稠密。稱re集A為s脫殊集，是指存在A的遞歸枚舉{A_s}_s∈ω，使得對任何原始遞歸集C⊆2，如果C沿{A_s}_s∈ω稠密，則存在τ∈C，使τ⊆C_A(以上C_A為A的特徵函式).。

任何e脫殊集都是s脫殊集(因此s脫殊集存在)，而任何s脫殊集都是p脫殊集。s脫殊集都是低的，但不一定是即時單純集。

脫殊集

亦稱兼納集。力迫法的一個概念。設M為一個非空集合，P為M中的偏序集，P∈M，若G⊂P為P的濾子，且對任何P的稠密子集D，D∈M→G∩D≠∅，則稱G為M上的P脫殊集，或稱G為P的脫殊子集。脫殊集的概念是美國數學家科恩(Cohen，P.J.)於1963年在利用力迫法證明AC與CH的獨立性時引入的.為了在基模型M上構造一個擴張模型，科恩引入了M之外的一些元素，將這些元素與M一起共同擴張成ZF的另一個模型N。為了不至於使擴張後的模型包含更多的序數，要求新引入的元素必須具有與M中的“普通”元素類似的性質，這些用來擴張M的“普通”元素稱為兼納集。兼納是英文generic的音譯，意為普通、一般的意思。目前對兼納集的定義是以色列學者索洛韋(Solovay，R.M.)在科恩思想的基礎上建立起來的一般性概念，它不僅是力迫法中的基本概念，也被經常運用於其他數學領域。

若M可數，則對任何p∈P，均存在一個M上的P兼納集，使p∈G.這一結論稱為兼納集G存在定理，是保證力迫擴張存在性的前提。

e脫殊集

定義較為簡單的re的脫殊集。它是傑克什(Jockusch，C.G.)給出的一種re的脫殊集定義。傑克什首先將集合論中力迫法移植到遞歸論中，給出了1脫殊集的概念。此後，馬斯(Maass，W.)給出了一種re脫殊集的定義(稱為re脫殊集)，但該定義過於複雜，因此，傑克什將其簡化為e脫殊集.具體地，設E={〈A₀，A₁，…，A_s〉：ᗄi≤s(A_i⊆A_i+1∧A_i⊆i)}.若{B_s}_s∈w是re集B的一個遞歸枚舉，稱C⊆E沿{B_s}_s∈w稠密，是指存在原始遞歸函式q，使得對任何s₀，存在s>s₀與〈B₀，B₁，…，B_s〉的擴張τ，τ∈C，|τ|≤q(s)，且(A_τ-A_s)↾s₀=∅。則re集B為e脫殊集，是指B有一個遞歸枚舉{B_s}_s∈w，使得對任何s，〈B₀，B₁，…，B_s〉∈E，且對任何原始遞歸集C⊆E，如果C沿{B_s}_s∈w稠密，則存在s，使〈B₀，B₁，…，B_s〉∈C，且B_s∩s=B∩s。

傑克什證明了e脫殊集的存在性，並證明了e脫殊集都是低的即時單純集，因此也給出解決波斯特問題的另一個方法。e脫殊集也是s脫殊集與p脫殊集。

re脫殊集

一種脫殊集。它是馬斯(Maass，W.)給出的.傑克什(Jockusch，C.G.)最早把集合論力迫概念引入遞歸論，並給出了1脫殊集的概念。但1脫殊集不是re集，對re度的研究沒有作用。為此，馬斯引入了re脫殊集的概念(雖然後來傑克什定義的e脫殊集，s脫殊集與p脫殊集也是re的，但一般稱的“re脫殊集”都是指馬斯給出的脫殊集概念)。在馬斯的定義中，有窮損傷的思想被隱含地包含在其中。其基本思想是：如果某個Σ₁性質有無窮多次機會被滿足(這種“機會”必須能夠在原始遞歸擴張中找到)，那么這個性質將被re脫殊集滿足。馬斯證明了re脫殊集的存在性，並指出re脫殊集都是低的即時單純集。此外，re脫殊集都是p脫殊集。

p脫殊集

脫殊集概念向re集的推廣。由於遞歸論的擴張構造方法與集合論中力迫法的思想有類似之處，因此力迫法也被移植到遞歸論中。與集合論力迫法中脫殊集概念類似的1脫殊集也在遞歸論中發揮了重要作用.但1脫殊集不是re集，因此對re集的研究沒有多大作用.為此，傑克什(Jockusch，C.G.)引入了以下p脫殊集概念：集合A為p脫殊集，是指A為余無窮，並且對任何A滿足的Σ₁性質P，存在有窮集G⊂A-與re集H⊆A，使得對任何集合B，如果B⊇H並且B-⊃G，則B亦具性質P.p脫殊集概念可以更加形式地定義為：集合A為p脫殊集，若且唯若A為余無窮，並且對任何re的有窮集對的集合{〈E_m;F_m〉：m∈w}，若E_m∩F_m=∅對一切m成立，則或者存在m₀，使E_m0⊂A，F_m0⊂A-;或者存在有窮集G⊆A-與re集H⊆A，使得對任何m，或者E_m∩G≠∅，或者F_m∩H≠∅。

由於放寬了限制條件，re的p脫殊集是存在的，並且英格拉希亞(Ingrassia，M.A.)證明了p脫殊集都是非有絲集，並且0′中包含p脫殊集.包含p脫殊集的度稱為p脫殊度.英格拉希亞證明了p脫殊度在R中是稠密的，丁德成則證明了re的p脫殊度都是非分枝度.此外，e脫殊集、s脫殊集與re脫殊集都是p脫殊集。