《q-差分方程形式解及其在組合數學中的若干套用》是依託杭州師範大學，由曹健擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：q-差分方程形式解及其在組合數學中的若干套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：曹健
- 依託單位：杭州師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
隨著非線性數學和量子數學的快速發展，組合數學中q-積分、q-正交多項式生成函式及變換恆等式等問題成為當前數學交叉領域研究的熱點，然而複雜的積分運算與有限的求和公式是制約研究進展的重要因素，引入q-差分方程並藉助其形式解方法是解決組合數學若干問題的有效途徑，研究將提高積分、求和運算效率。本項目針對解析函式，構造其所滿足的q-差分方程，利用q-差分方程形式解方法研究：1.推廣多變數Andrews-Askey型、Askey-Wilson型積分及相關q-積分恆等式; 2. 推廣高維q-Kibble-Slepian型公式，解決文章[Journal of Functional Analysis, 2012, 262(1): 210-233.]中的公開問題，推廣相關多變數q-正交多項式生成函式; 3. 推廣Rogers-Ramanujan型恆等式、積分型Bailey求和公式，探討相關單、雙邊變換恆等式.
結題摘要
本項目採用q-差分方程形式解及齊次q-偏差分方程形式解方法研究了q-Laguerre多項式關聯的Cigler多項式和拓廣多項式的系列生成函式問題、Askey-Wilson型積分問題、多線性生成函式、Ramanujan積分、Askey-Roy積分、Andrews-Askey積分、Ismail-Zhang型生成函式問題、分數階q-積分及分數階q-積分恆等式問題。探討了q-差分方程形式解的結構、分數階q-積分性質及齊次q-偏差分方程構造屬性。 通過這些方法研究發現：1. q-Laguerre多項式關聯的Cigler多項式和拓廣多項式具有運算元遞推結構特徵。2. q-差分方程形式解與Askey-Wilson型積分之間屬性關聯，系統推廣了Askey-Wilson型積分。3. 以q-超幾何多項式乘積展成的函式滿足齊次q-偏差分方程，推廣了多線性生成函式、Ramanujan積分、Askey-Roy積分、Andrews-Askey積分，Ismail-Zhang型生成函式等系列問題。4. q-差分方程與疊代分數階q-積分之間關係，推廣了二重分數階q-積分及分數階q-積分恆等式。5. q-差分方程與Ramanujan積分之間的內在關係，拓展了Ramanujan積分。 上述結果證實了q-差分方程形式解方法是研究q-Laguerre多項式關聯的Cigler多項式生成函式、Askey-Wilson型積分、q-超幾何多項式展開、分數階q-積分、Ramanujan積分、Askey-Roy積分、Andrews-Askey積分，Ismail-Zhang型生成函式等系列問題一種重要手段，通過q-差分方程形式解方法揭示了q-正交多項式生成函式理論、q-積分理論及分數階q-積分理論，並為進一步探索q-差分方程理論及套用提供了一個新的研究渠道。
