《p-Grushin運算元及其方程的研究》是依託華中師範大學，由彭雙階擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：p-Grushin運算元及其方程的研究
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：彭雙階
- 依託單位：華中師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究一類各向異性空間上的擬線性運算元及其對應的方程，即p-Grushin運算元及其方程的研究。我們主要研究下面幾類問題：1、p-Grushin運算元的定義、基本解與比較定理。2、p-Grushin運算元的Sobolev不等式、Hardy不等式以及Hardy-Sobolev不等式及其相關問題。如最佳常數的可達性、達到函式的對稱性、衰減性以及達到函式的表達式等問題。3、臨界與次臨界p-Grushin方程解的存在性、非存在性、解的分歧現象與多解等理論。4、有界區域上臨界p-Grushin方程無窮多個解的證明。5、全空間上次臨界p-Grushin方程正解的非存在性結果。我們希望通過本項目的研究，進一步刻畫空間的各向異性對方程解的性質的影響。.本項目為訪問項目，將於深圳大學余曉輝聯合申請，並將邀請余曉輝來華中師範大學與其共同探討如何解決上述幾類問題。
結題摘要
在本項目獲得資助後，按照申請時的約定，余曉輝於2018年1月-12月在華中師範大學從事為期一年的學術訪問。訪問期間，他在我的指導下，我們就申請書中提出的問題進行深入的研究，並根據研究過程中所面臨的難點，對當初提出的問題進行了及時修正，目前已經取得了階段性的成果，主要體現在以下幾個方面。1、解決了兩類具有混合邊值條件的非線性橢圓方程解的非存在性結果。2、解決了有界區域上，具有非線性邊值條件的橢圓方程解的存在性結果。3、對量子力學中的Hartree方程與Hartree-Fock方程進行了研究，並在適當的條件下證明了正解的非存在性結果。4、用微分方程的變分方法，解決了一類積分方程解的存在性的結果。截止目前，他已經在SCI源刊上正式發表論文1篇，另一篇已接收，第三篇正在審稿中，第四篇已經完成，目前正在作最後的修改工作。總的來說，我們基本上按原計畫實現了項目的目標並有所拓展，為下一步工作打下了基礎。
