n無撓環

n無撓環(n-torsion free ring)是一類特殊環。指環的加群(R，+)不含周期為n的元。即對任意x∈R，若nx=0，恆有x=0，則稱R是n無撓環。

基本介紹

• 中文名：n無撓環
• 外文名：n-torsion free ring
• 領域：數學
• 學科：環論
• 性質：一類特殊環
• 定義：環的加群不含周期為n的元

概念

n無撓環(n-torsion free ring)是一類特殊環。指環的加群(R，+)不含周期為n的元。即對任意x∈R，若nx=0，恆有x=0，則稱R是n無撓環。n無撓常是對無單位元的環而言，因為，若R有單位元，且R的特徵數為m，則對任意整數n，只要m不能整除n，nx=0恆有x=0。

環

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

環論

環論是研究環的性質及其運算規律的代數分支學科。近代環論也包含了非結合代數。“環”是抽象代 數研究中的基本對象之一。

環和理想的構造在19世紀已為人熟知，並套用在戴德金(Dedekind，R.)和克勞尼克(Kronecker， L.)等關於代數數的著作中。克勞 尼克(Kronecker，L.)將環稱為“order”，希爾伯特(Hilbert，D.)才引 進了“ring (環)”這一詞。但是抽 象的理論是在20世紀發展起來的。至諾德愛米(Noether，N.)將其置於系統化和公理化的基礎上。

環論和群的概念有密切關係， 設S是一個集合，它在加法之下構成Abel群，在乘法運算之下是半群，對加法滿足分配律，即對：

∀a， b， c∈S，a(b+c)=ab+ac，(a+b)c=ac+bc。

在環中，對乘法而言ab=0⇏a=0或b=0如果有a∈S， 存在b∈S，使ab=0 (ba=0)，則 說a是S中的一個左 (右) 零因 子。不含零因子的交換環稱為整 環。數域上的多項式環也是整環。 n階矩陣環則不是整環。

正如不變子群在群的研究中所起作用一樣，理想的概念對環的研究至關重要。對環S中的非空子集 A，如果A關於S中的兩種運算構成環，則A是S的子環。進一步， 對S中的子環A， 如果∀_m∈S， a∈ A，有xa，ax∈A，則A稱為環S的一個理想。顯然S中理想的交集仍是S的理想，當A是環S的一個理想時，由加法運算作出商群 S/A，此商群對乘法而言，易證其為半群，從而S/A構成環，稱為商環，或稱S關於A的剩餘類環。

阿貝爾群

阿貝爾群亦稱交換群。一種重要的群類。對於群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的運算滿足交換律，即對任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾群。由於阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換群，所以通常稱這類群為阿貝爾群。交換群的運算常用加法來表示，此時群的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負元).用加法表示的交換群稱為加法群或加群。