factorization漢語意即因式分解。指的是把一個多項式分解為幾個整式的積的形式，它被廣泛地套用於初等數學之中，是中學數學中最重要的恆等變形之一，國中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．而在競賽上，又有拆項和添項法，待定係數法，雙十字相乘法，輪換對稱法等。
基本介紹
- 中文名：因式分解
- 外文名：factorization
- 方法：公式法、分組分解法和十字相乘法
- 運用：初等數學
國中解題方法,提公因式法,運用公式法,分組分解法,拆項、補項法,十字相乘法,套用因式定理,因式分解方法,提公因法,套用公式法,分組分解法,十字相乘法,配方法,拆、添項法,換元法,求根法,圖像法,主元法,利用特殊值法,待定係數法,四個注意,
國中解題方法
國中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．而在競賽上，又有拆項和添項法，待定係數法，雙十字相乘法，輪換對稱法等。
提公因式法
①公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的～.
②提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括弧外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.
am+bm+cm=m（a+b+c）
③具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的，一般要提出“－”號，使括弧內的第一項的係數是正的.
運用公式法
①平方差公式：. a^2－b^2=(a+b)(a－b)
②完全平方公式： a^2±2ab+b^2=(a±b)^2
※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.
③立方和公式：a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2).
立方差公式：a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2).
④完全立方公式： a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數)
分組分解法
分組分解法：把一個多項式分組後，再進行分解因式的方法。
分組分解法必須有明確目的，即分組後，可以直接提公因式或運用公式。
拆項、補項法
拆項、補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解；要注意，必須在與原多項式相等的原則進行變形。
十字相乘法
①x^2+（p q）x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和.因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解： x^2+（p q）x+pq=（x+p）（x+q）
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果能夠分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 時，那么
kx^2+mx+n=（ax b）（cx d）
a \-----/b ac=k bd=n
c /-----\d ad+bc=m
※ 多項式因式分解的一般步驟：
①如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；
②如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；
④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。
套用因式定理
如果f（a）=0，則f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，則可確定（x+2）是x^2+5x+6的一個因式。
經典例題：
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2
解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2.證明：對於任何數x,y，下式的值都不會為33
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
當y=0時，原式=x^5不等於33；當y不等於0時，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立。
因式分解方法
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現總結如下：
提公因法
如果一個多項式的各項都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。
例1、 分解因式x^3 -2x^2 -x(2003淮安市中考題)
x^3 -2x^2 -x=x(x^2 -2x-1)
套用公式法
由於分解因式與整式乘法有著互逆的關係，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式。
例2、分解因式a^2 +4ab+4b^2 (2003南通市中考題)
解：a^2 +4ab+4b^2 =（a+2b）
分組分解法
要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m^2 +5n-mn-5m
解：m^2+5n-mn-5m= m^2-5m -mn+5n
= (m^2 -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
十字相乘法
對於mx^2 +px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x^2 -19x-6
分析：
1 -3
7 2
2-21=-19
解：7x^2 -19x-6=（7x+2）(x-3)
配方法
對於那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。
例5、分解因式x^2 +3x-40
解x^2 +3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5)
拆、添項法
可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
換元法
有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。
例7、分解因式2x^4 -x^3 -6x^2 -x+2
解： 2x^4 -x^3 -6x^2 -x+2 =2x^4-2x^2-2（2x^2）-x^3+x-2x+2
=2x^2 （x^2-1）- 2（2x^2）- x（x^2-1）-2（x-1)
=（x^2-1）(2x^2-x)-2（2x^2）- 2（x-1)
=x(x^2-1)(2x-1)-2(2x^2+x-1)
=x(x+1)(x-1)(2x-1)-2(2x-1)(x+1)
=(2x-1)(x+1)[x(x-1)-2]
=(2x-1)(x+1)(x^2-x-2)
=(2x-1)(x+1)(x-2)(x+1) 或=(2x-1)(x-2)(x+1)^2
求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn )
例8、分解因式2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6
解：令f(x)=2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=0
通過綜合除法可知，f(x)=0根為1/2 ，-3，-2，1
則2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
圖像法
令y=f(x)，做出函式y=f(x)的圖像，找到函式圖像與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn )
例9、因式分解x^3 +2x^2 -5x-6
解：令y= x^3 +2x^2 -5x-6
作出其圖像，與x軸交點為-3，-1，2
則x^3 +2x^2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
主元法
先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此題可選定a為主元，將其按次數從高到低排列
解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
利用特殊值法
將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x^3 +9x^2 +23x+15
解：令x=2，則x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105
將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7
注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值
則x^3 +9x^2 +23x+15可能=（x+1）（x+3）（x+5） ，驗證後的確如此。
待定係數法
首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母係數，求出字母係數，從而把多項式因式分解。
例12、分解因式x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4
分析：易知這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。
解：設x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4=(x^2 +ax+b)(x^2 +cx+d)
= x^4 +(a+c)x^3 +(ac+b+d)x^2 +(ad+bc)x+bd
所以 解得
則x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
四個注意
因式分解初見於九年義務教育三年制國中教材《代數》第二冊，在初二上學期講授，但它的內容卻滲透於整箇中學數學教材之中。學習它，既可以複習初一的整式四則運算，又為本冊下一章分式打好基礎；學好它，既可以培養學生的觀察、注意、運算能力，又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力。其中四個注意，則必須引起師生的高度重視。
因式分解中的四個注意散見於教材第5頁和第15頁，可用四句話概括如下：首項有負常提負，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏1，括弧裡面分到“底”。現舉數例，說明如下，供參考。
例1 把－a2－b2+2ab+4分解因式。
解：－a2－b2+2ab+4=－（a2－2ab+b2－4）=－（a－b+2）（a－b－2）
這裡的“負”，指“負號”。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括弧內第一項係數是正的。防止學生出現諸如－9x2+4y2=（－3x）2－（2y）2=（－3x+2y）（－3x－2y）=（3x－2y）（3x+2y）的錯誤?
如例2 △abc的三邊a、b、c有如下關係式：－c2+a2+2ab－2bc=0，求證這個三角形是等腰三角形。
分析：此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。
證明：∵－c2+a2+2ab－2bc=0，∴（a+c）（a－c）+2b（a－c）=0，∴（a－c）（a+2b+c）=0．
又∵a、b、c是△abc的三條邊，∴a+2b+c>0，∴a－c=0，
即a=c，△abc為等腰三角形。
例3把－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1=－6xnyn－1（2xny－3x2y2+1）
這裡的“公”指“公因式”。如果多項式的各項含有公因式，那么先提取這個公因式，再進一步分解因式；這裡的“1”，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括弧內切勿漏掉1。防止學生出現諸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2+2p（1－x）2=2p（x－1）2[3（x－1）－4p]=2p（x－1）2（3x－4p－3）的錯誤。
例4 在實數範圍內把x4－5x2－6分解因式。
解：x4－5x2－6=（x2+1）（x2－6）=（x2+1）（x+6）（x－6）
這裡的“底”，指分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“乾淨”，不留“尾巴”，並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。防止學生出現諸如4x4y2－5x2y2－9y2=y2（4x4－5x2－9）=y2（x2+1）（4x2－9）的錯誤。
由此看來，因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：“先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適”是一脈相承的。
