《Z分次表示理論》是依託北京理工大學，由胡峻擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Z分次表示理論
- 依託單位：北京理工大學
- 項目負責人：胡峻
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究分圓赫克代數以及分圓q-舒爾代數的Z分次表示理論。內容包括用分圓Ariki-Koike赫克代數上的Khovanov-Lauda-Rouquier分次研究關於這些代數單模的特徵標在e=0時與基域特徵無關的Kleshchev-Ram猜想；分圓Ariki-Koike赫克代數的Z分次擬遺傳覆蓋代數（即Z分次分圓舒爾代數）的構造及Kleshchev-Ram猜想的相應版本；分圓Ariki-Koike赫克代數的分次Cartan矩陣的行列式的計算；分圓Hecke-Clifford代數上的Z分次結構的構造及與A_2l^{(2)}型或D_l^{(2)}型的箭圖赫克代數的比較；以及當基域任意而參數q為未定元時分圓Ariki-Koike赫克代數與A型量子群的拋物範疇O之間的高水平Schur-Weyl對偶。
結題摘要
Z分次表示目前是表示理論與李理論最前沿的研究方向之一，它在量子群的範疇化、扭結不變數以及數學物理等領域中都有重要的套用。它的快速發展給許多困難的經典數學問題的解決提供了嶄新的視角。目前許多重要的代數（包括G(r,1,n)型的分圓Hecke代數、Brauer代數及Temperley-Lieb代數等）都發現了其上非平凡的Z分次結構以及豐富的Z分次表示理論。本項目的研究內容包括A型分圓箭圖Hecke代數的Z分次表示、G(r,p,n)型分圓Hecke代數的分解數、Brauer代數與BMW代數以及Weyl群中對合張成空間上的Hecke模結構等。重要結果包括：與Mathas合作，證明了Brundan，Kleshchev與王偉強提出的關於G(r,1,n)型分圓Hecke代數的誘導Specht模的Z分次Specht濾過的猜想；我們建立了A型分圓箭圖Hecke代數上的KLR-Z分次與經典的半單表示的Young半正規形式之間的聯繫，得到了半單Specht模的Gram行列式的整公式，給出了A型分圓箭圖Hecke代數的一些x-變形；給出了當e=0或e＞n時A型分圓箭圖Hecke代數的Z分次擬遺傳覆蓋，證明了它們是擬遺傳的Z分次胞腔代數，並證明了當e=0且基域特徵為0時A型分圓箭圖Hecke代數上的KLR-Z分次與BGG拋物範疇O誘導的Koszul Z分次吻合，給出了相同假設下A型分圓箭圖Schur代數的Z分次分解數計算的Lascoux-Leclerc-Thibon組合算法；系統研究了具有(\epsilon,q)可分的分圓參數的G(r,p,n)型分圓Hecke代數的模表示理論，證明了這些代數的分解數完全被一些相關的G(s,1,m)型的分圓Hecke代數的分解數以及它們的Schur元素所決定。與張靜合作，把Matsumoto關於Weyl群中既約表達式之間的辮子變換的經典結果推廣到了典型Weyl群中對合的扭既約表達式之間的辮子變換，並由此證明了Lusztig關於對稱群中對合張成空間上的Hecke模結構的生成元猜想成立。與肖占魁合作，證明了Lehrer-張關於正交張量空間在Brauer代數中的零化子的生成元的猜想。
