《Sierpinski族上自仿測度的譜與非譜性質及其譜結構的研究》是依託陝西師範大學，由李建林擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Sierpinski族上自仿測度的譜與非譜性質及其譜結構的研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李建林
- 依託單位：陝西師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目將研究由仿射疊代函式系統產生的惟一不變測度即自仿測度的譜與非譜性質以及譜結構問題.主要目標是針對平面與空間Sierpinski族這一典型情形探討自仿集上存在指數函式正交基（也稱為Fourier基）的條件與性質，為進一步在分形背景下建立Fourier分析理論奠定基礎。研究內容有：（一）譜自仿測度產生的條件分析。擬就譜測度產生的必要條件與充分條件中的兩個猜想，在自仿tile理論的基礎上，從分析與代數結合的角度給出一些等價的刻畫，並對兩個元素數字集的情形給出1維譜測度的譜結構以及2維自仿測度的譜與非譜性質。（二）平面與空間Sierpinski族上自仿測度的譜與非譜性質。擬從此類數字集的特點出發，在疊代系統中引入路徑測度、循環與圖論中樹的概念等，給出譜與非譜自仿測度比較合理的判斷。上述這些研究內容將進一步豐富和拓展自仿測度的譜理論，為探索一些奇異現象提供有力的理論依據。
結題摘要
本項目按照原定的方案與技術路線探討了直線、平面與空間Sierpinski族上自仿測度的譜與非譜性質以及譜結構。主要結果有：（1）針對具有可分解形式的數字集、擴張矩陣的行列式是素數以及和諧對條件等情形，利用逼近Parseval恆等式、循環的特點與表示式、單位根之和為零的代數結構等分析與代數結合的方法與技巧，得到一系列自仿測度為譜或非譜的充分條件和必要條件；（2）得到平面上兩元素數字集所對應自仿測度的譜與非譜性質的第一個比較完整的結果，建立了兩元素與四元素數字集所對應自仿測度的譜性質的聯繫，並給出處理此類問題的方法；（3）通過引入數論中同餘關係和有限群中元素的階的概念與性質，給出四分Cantor測度譜結構一個本質的刻畫；（4）利用矩陣分解與組合技巧，獲得平面Sierpinski族上自仿測度的譜與非譜性質的完整結果；（5）在研究空間Sierpinski族上自仿測度的譜與非譜性質方面, 取得了一系列實質性的結果。在三個方向壓縮比的奇偶性不同時，解決了正交系的有限性與無限性問題。這些研究結果進一步豐富和發展了自仿測度的譜理論，為探索一些奇異現象和建立分形上的Fourier分析提供有力的理論依據。
