SP函式，全名Special函式，又名VGM函式，164函式。它是國中函式中一次函式、反比例函式和二次函式的過渡產物。
基本介紹
- 中文名：SP函式
- 外文名：Function Of Special
- 別名：VGM函式；164函式
- 學科：數學
定義,函式解析式,一般式,方程式,關係式,性質,SP函式和對勾函式,圖像端點和最值的研究,y=ax+c/x,y=ax+b+c/x,SP函式的擴展研究,概述,添加二次項,添加負二次項,Sp函式、Sp方程與其他數學概念的關係,Sp函式與Sp方程的關係,Sp方程與一元二次方程的關係,
定義
形如
的函式，叫做SP函式。
函式解析式
SP函式共恥束台照有三種形式的解析式。
一般式
a, b, c 對SP函式的影響
a：控制開口大小；
b：控制函式的上下移動；
c：控制函式與坐標軸的距離。
實質：由一般式可以看出，SP函式可看做一次函式和反比例函式的結合。
方程式
將SP函式 的兩邊同時乘以x，再通過移項得到：
通過此形式，可以看出SP函式與一元二次方程有一定懂腿槓尋的必然聯繫。
關係式
將SP函式 的兩邊同時除以x，再通過移項得到：
通過此形式，可以看出SP函式與二次函式有一定的必然聯繫。
性質
a,c 同號，有端點
a，c同號的SP函式圖像
由圖像看出，此類型的SP函式既有反比例函式的雙曲線性質，又有類似於二次函式的圖像特徵。
性質1：圖像與y軸在實數範圍內無交點；
性質2：兩曲線關於(0,b)對稱；
性質3：當a，c分別互為相反數，b相等時，兩函式圖像關於y軸和直線拒朵y=b對稱；
性質4：圖像有端點。
a,c 異號：無端點
由圖像看出，此類型SP函式沒有類似二次函式的圖像性質，但仍然有類似反比例函式的雙曲線性。
a，c異號的SP函式圖像
性質1：在實數範圍內，圖像與 y 軸無交點。
性質2：當 a,c 分別互為相反數，b相等時，兩函式圖像關於 y 軸和直線 y=b 對稱。
性質3：圖像無端點。
SP函式和對勾函式
當b=0時，SP函式為
，即為高中數學中的對勾函式。此函式又名雙勾函式。
圖像端點和最值的研究
由圖像可知，當 a,c 同號時，SP函式的圖像有端點。那么，端點對應的函式值（即該支承虹戒函式的最值）與 a,b,c 之間有什麼關係呢？
y=ax+c/x
由於函式圖像的兩支關於原點中心對稱，因此首先以第一象限為研究對象。
∵
，
∴令
，
。則
在同一平面直角坐標系中作出函式 y1，y2 的圖像，如圖1所示。兩函式在第一象限內交於一點P。
圖1 y=ax+c/x 的端點與最值研究
聯立 y1, y2 得方程組，計算得：
。
作直線
與 y2 相切於P。
∴將P
代入得
聯立 y2 ,y3 。計算得:
∵ y2與 y3相切，
∴令
，即
。
整理得：
，
，
，
。
∴直線 y1, y3 關於直線
對稱。
∴在y軸的右側（x＞0），不論x取任何值，y1 +y3 恆等於2
，即
。
又由圖可知在 y 軸右側， 當 x ≠
時，y2始終在直線 y3的上方，y2 ＞ y3 ，
∴當
時，
，
∴當
時，
+
有最小值，即
。
圖2 y=ax+c/x：總結
∴在第一象限內，當 時，y有最小值，
。
同理，在第三象限內，當
時有最大值，
。推理過程和第一象限的基本相同。
y=ax+c/x：總結（如圖2）
y=ax+b+c/x
由於函式圖像的少贈屑兩支關於（0，b）中心對稱，因此首先以y軸右側的一支為研究對象。
∵
，
∴令
， 。則 在同一平面直角坐標系中作出函式y1 ，y2 的圖像，如圖3所示。兩函式在第一象限內交於一點P。
圖3 y=ax+b+c/x 的端點與最值研究
過點P作
，直線 y3與曲線
交於P, Q兩點，則直線y1 ，y3 關於直線
，
對稱。
∴不論x取任何值， +
恆等於2 。
∵（1）在 0
和
的範圍內， 在直線 的上方，此時y2＞y3, y1+y2＞y1+y3；
（2）在 
的範圍內，墊精炒 在直線 的下方，此時y2‘
∴y1+y2' 的範圍內。
作直線
與 相切於M。
聯立 y2，y4，解得：
。
令 ，即
，整理得
，
。將 代入 中：
，
，即
。
將 代入 中：
；
再代入 或 中：
。
∴當 時， + 有最小值，即
。
圖4 y=ax++b+c/x：總結
∴在y軸右側，當 時， 有最小值，
。
同理，在y軸左側，當 時有最大值， 有最大值，
。推理過程和在y軸右側的基本相同。
y=ax+b+c/x：總結（如圖4）
SP函式的擴展研究
概述
SP函式具有強大的擴展功能，可以在原有的 的基礎上添加更高或更低次項。
添加二次項
添加二次項後的SP函式為：
添加負二次項
添加櫃罪元負二次項後的SP函式為：
此函式的圖像形似基本SP函式有端點及無端點的兩個圖像的結合。此函式圖像的兩支中，只有一支存在端點，即有最值。該形式SP函式的其他性質與基本SP函式對應性質基本類似。
SP函式的基本研究已經基本完成，而對於它的擴展研究才剛剛起步。希望“有識之士”能幫助我們修正基本研究中難免存在的問題或缺陷，並不斷完善函式的擴展內容，共同傳承與弘揚“特殊”的精神！
Sp函式、Sp方程與其他數學概念的關係
Sp函式與Sp方程的關係
Sp方程是一元二次方程與分式方程的結合，一般式為
。當Sp函式中y=0時，即為Sp方程的一般形式。Sp方程的解即為Sp函式與x軸的交點。一般的，當a、c同號，b=0時，所對應的Sp方程一般無解。當a、c異號，所對應的Sp方程有兩個不相同的解。
Sp方程與一元二次方程的關係
將Sp方程
兩邊乘以x化為ax+bx+c=0(x≠0)即可發現，Sp方程求根公式仍為
。即可得到Sp方程與一元二次方程有必然聯繫。Sp方程的解即為對應一元二次方程的解。
又由圖可知在 y 軸右側， 當 x ≠ 時，y2始終在直線 y3的上方，y2 ＞ y3 ，
∴當 時， ，
∴當 時， + 有最小值，即 。
圖2 y=ax+c/x：總結
∴在第一象限內，當 時，y有最小值， 。
同理，在第三象限內，當 時有最大值， 。推理過程和第一象限的基本相同。
y=ax+c/x：總結（如圖2）
y=ax+b+c/x
由於函式圖像的兩支關於（0，b）中心對稱，因此首先以y軸右側的一支為研究對象。
∵ ，
∴令 ， 。則 在同一平面直角坐標系中作出函式y1 ，y2 的圖像，如圖3所示。兩函式在第一象限內交於一點P。
圖3 y=ax+b+c/x 的端點與最值研究
過點P作 ，直線 y3與曲線 交於P, Q兩點，則直線y1 ，y3 關於直線 ， 對稱。
∴不論x取任何值， + 恆等於2 。
∵（1）在 0 和 的範圍內， 在直線 的上方，此時y2＞y3, y1+y2＞y1+y3；
（2）在 的範圍內， 在直線 的下方，此時y2‘
∴y1+y2' 的範圍內。
作直線 與 相切於M。
聯立 y2，y4，解得： 。
令 ，即 ，整理得 ， 。將 代入 中： ， ，即 。
將 代入 中： ；
再代入 或 中： 。
∴當 時， + 有最小值，即 。
圖4 y=ax++b+c/x：總結
∴在y軸右側，當 時， 有最小值， 。
同理，在y軸左側，當 時有最大值， 有最大值， 。推理過程和在y軸右側的基本相同。
y=ax+b+c/x：總結（如圖4）
SP函式的擴展研究
概述
SP函式具有強大的擴展功能，可以在原有的 的基礎上添加更高或更低次項。
添加二次項
添加二次項後的SP函式為：
添加負二次項
添加負二次項後的SP函式為：
此函式的圖像形似基本SP函式有端點及無端點的兩個圖像的結合。此函式圖像的兩支中，只有一支存在端點，即有最值。該形式SP函式的其他性質與基本SP函式對應性質基本類似。
SP函式的基本研究已經基本完成，而對於它的擴展研究才剛剛起步。希望“有識之士”能幫助我們修正基本研究中難免存在的問題或缺陷，並不斷完善函式的擴展內容，共同傳承與弘揚“特殊”的精神！
Sp函式、Sp方程與其他數學概念的關係
Sp函式與Sp方程的關係
Sp方程是一元二次方程與分式方程的結合，一般式為。當Sp函式中y=0時，即為Sp方程的一般形式。Sp方程的解即為Sp函式與x軸的交點。一般的，當a、c同號，b=0時，所對應的Sp方程一般無解。當a、c異號，所對應的Sp方程有兩個不相同的解。
Sp方程與一元二次方程的關係
將Sp方程兩邊乘以x化為ax+bx+c=0(x≠0)即可發現，Sp方程求根公式仍為。即可得到Sp方程與一元二次方程有必然聯繫。Sp方程的解即為對應一元二次方程的解。
