奧高公式

Остроградский-Gauss 公式，可簡稱Gauss公式。格林公式（Green）表達了平面區域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關係，而高斯公式表達了空間區域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關係

基本介紹

• 中文名：奧高公式
• 外文名：Остроградский-Gauss 
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：二重積分與其邊界曲線上曲線積分

基本概念

1、第一型曲面積分的定義

設是空間中可求面積的曲面，為定義在上的函式。把分割為n個小曲面i（S),,(zyxfSSSni,,1L=）

，以記小塊曲面的面積，分割T的細度iSΔ{}的直徑iniST≤≤=1max，在上任取一點)iS,,iiiςηξ（（ni,,1L=），若極限 iniiiiTSfΔ∑=→10),,(limςηξ

存在，且與分割T與),,iiiςηξ（（）的取法無關，則稱此極限為在上的第一型曲面積分，記作。 ni,,1L=),,(zyxfS∫∫SdSzyx,( f , )

2、第一型曲面積分的計算

定理1 設有光滑曲面：，S),(yxzz=Dyx∈),(，為上的連續函式，則 ),,(zyxfSdxdyzzyxzyxfdszyxfDyxS∫∫∫∫++=221)),(,,(),,(

3、第二類曲面積分的計算

定理2 設R是定義在光滑曲面：，上的連續函式，以的上側為正側（這時的法線方向與軸正向成銳角），則有 S),(yxzz=xyDyx∈),(SSz

dxdyyxzyxfdszyxfxyDS∫∫∫∫=)),(,,(),,(

4、Gauss公式

定理3 設空間區域V由分片光滑的雙側封閉曲面圍成。若函式SP，Q，R在V上連續，且有一階連續偏導數，則： ∫∫∫∫∫++=∂∂+∂∂+∂∂SVRdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxp)(

其中取外側。 S

5、Stokes公式

定理4 設是 R3中的光滑曲面，的邊界SSL是了按段光滑的連續曲線。若函式P，Q，R在V上連續，且有一階連續偏導數，則： ∫∫∂∂∂∂∂∂SRQPzyxdxdydzdxdydz = 。 ∫∂++DRdzQdyPdx

基本方法

1、利用dxdyzzyxzyxfdszyxfDyxS∫∫∫∫++=221)),(,,(),,(和兩個公式計算第一型和第二型曲面積分； dxdyyxzyxfdszyxfxyDS∫∫∫∫=)),(,,(),,(

2、利用Gauss公式計算三維積分；

3、利用Stokes公式計算曲面積分。

基本要求

1、掌握求第一型和第二型曲面積分的方法；

2、會用Gauss公式和Stokes公式計算曲面積分。

典型例題

例1 求，其中是上半球面，。 ∫∫++SdSzyx)(S2222azyx=++0≥z

解 根據對稱性，==0，只要計算即可。由∫∫SxdS∫∫SydS∫∫SzdS222yxaz−−=，222yxaxzx−−−=，222yxayzy−−−=，所以。 3222)(adxdyadSzyxayxSπ==++∫∫∫∫≤+

例2 計算，其中是以原點為中心，邊長為2的立方體表面並取外側為正向。 ∫∫+++++Sdxdyxzdzdxzydydzyx)()()(S

解 分析：觀察積分結構及曲面的圖形知，Szyx、、兩兩對稱，由對稱性知，只需計算其中之一即可。

由 ∫∫∫∫∫∫−−−−+−−+=[phone]()1()(dzydydxydydydzyxS

8)1(2)1(21111=−−+=∫∫−−dyydyy

故=∫∫+++++Sdxdyxzdzdxzydydzyx)()()(83×=。 24

例3 證明：若為封閉曲面，為任何固定方向，則Sl0),cos(=∫∫SdSln，其中為曲面外法線方向。 nS

證 設n和l的方向餘弦為αcos，βcos，γcos和，，，則++，所以'cosα'cosβ'cosγ'coscos),cos(αα=ln'coscosββ'coscosγγ∫∫∫∫=SSdSln(),cos('coscosαα++） 'coscosββ'coscosγγdSdxdydzdxdydzS'''coscoscosγβα++=∫∫外

又因l的方向固定，，，都是常數，故'cosα=P'cosβ=Q'cosγ=R0=∂∂+∂∂+∂∂zRyQxP，由奧高公式，

原式∫∫∫∫∫=++=VSRdxdyQdzdxPdydz(zRyQxP∂∂+∂∂+∂∂）dxdydz0=。

自測題

1．利用高斯公式求下列積分：

1) 222Sxdydzydzdxzdxdy++∫∫，其中

(a) 為立方體0,S,xyza≤≤的邊界曲面外側；

(b) 為錐面S222(0)xyzzh+=≤≤，下側．

2) 333Sxdydzydzdxzdxdy++∫∫，其中是單位球面的外側； S

3）設是上半球面S22zaxy=−− 2的上側，求

(a) Sxdydzydzdxzdxdy++∫∫，

(b) ()()22222Sxzdydzxyzdzdxxyyzdxdy+−++∫∫；

4) ()()()222222Sxyzdydzyzxdzdxzxydxdy−++−++−+∫∫，是 S

()()()2222xaybzc−+−+−=R的外側．

2． 用斯托克斯公式計算下列積分：

1) ∫++L32zdzdydxyx，其中

(a) L為圓周，方向是逆時針， 222,xyaz+==0

(b) L為所交的橢圓，從軸正向看去，按逆時針方向； 221,yzx+==y x

2) ∫−+−+−L)()()(dzyxdyxzdxzy，其中L是從(),0,0a經()0,,0a至()0,0,a回到(),0,0a

三角形；

3) ∫+++++L222222)()()(dzyxdyxzdxzy，其中

(a) L為1xyz++=與三坐標軸的交線，其方向與所圍平面區域上側構成右手法則，

(b) L是曲線，它的方向與所圍曲面的上側構成右手法則； 222222,2(0,0)xyzRxxyrxrRz++=+=<<>

4) ∫++Lxdzzdyydx，L是，從軸正向看去圓周是逆時針方向． 2222,0 x +y +z =a x+y+z= x

3．計算高斯積分

()2cos,SdSrrn∫∫

其中為簡單封閉光滑曲面，為曲面上在點SnS(),,ξηζ處的外法向，()()(),xyzrrijkrξηζ=−+−+−=．試對下列兩種情形進行討論：

1） 曲面包圍的區域不含S(),,xyz點；

2） 曲面包圍的區域含(S),,xyz點．

4．求證：()dSNRrdxdydzSV∫∫∫∫∫=,cos21，其中是包圍V的分片光滑封閉曲面，為的外法線方向．SNSR=(),,xyz,Rr=．分下列兩種情形討論：(1) 中不含原點（0，0，0）；(2) 中含原點（0，0，0）時，令VVlim0VVVdxdydzdxdydzrrεε−=+→∫∫∫∫∫∫，其中Vε是以原點為心，以ε為半徑的球．

5．利用高斯公式變換以下積分：

(1) Sxydxdyxzdzdxyzdydz++∫∫；(2) coscoscosSuuudSxyzαβγ⎛⎞∂∂∂++⎜⎟∂∂∂⎝⎠∫∫，

其中cosα，cosβ，cosγ是曲面的外法線方向餘弦．

6．設是具有二階連續偏導數的函式，並設()(,,,uxyvxy)

2222uuuxy∂∂Δ=+∂∂．

證明 luudxdydsnσ∂Δ=∂∫∫∫。其中σ為閉曲線所圍的平面區域，l,uvnn∂∂∂∂為沿l外法線的方嚮導數．

7．設222222,uuuuxyz∂∂∂Δ=++∂∂∂

S 是V的邊界曲面，證明：

(1) VSuudxdydzdSn∂Δ=∂∫∫∫∫∫；

(2) 222SVVuuuuudSdxdydzuudxdydznxyz⎡⎤⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞=+++Δ⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫∫∫∫∫∫∫∫．

式中u在V及其邊界曲面上有連續的二階偏導數，Sun∂∂為沿曲面的外法線的方嚮導數． S

8．計算下列曲面積分：

(1) ()()()22222Sxydydzyzdzdxzyxdxdy−+−+−∫∫，其中是S2222221xyzabc++= 下側； (0z≥ )

(2) ()()()coscoscos,SxydydzyzdzdxzxdxdyS+++++∫∫是立體Ω的邊界面，而立體Ω由1xyz++=和三坐標面圍成；

(3) SdSFn⋅∫∫，其中333,xyzFijk=++ n是的外法向，S為S2222 x +y+z =a (z ≥0) 上側；

(4) 3333233222,SxyzyzdydzzxdzdxxydxdySabc⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∫∫是2222221xyzabc++= 後側． (0x≥ )

9．證明由曲面所包圍的體積等於 S()1coscoscos3SVxyzαβγ=++∫∫ dS

式中cosα，cosβ，cosγ為曲面的外法線的方向餘弦． S

10．設有連續偏導數，且對任意光滑閉曲面，有 ,,PQRS

0SPdydzQdzdxRdxdy++=∫∫

證明0PQRxyz∂∂∂++=∂∂∂．

11．設在全平面上有連續偏導數，而且以任意點()(,,,PxyQxy) ()00,xy為中心，以任意正數為半徑的上半圓l：r00cos,sinxxryyrθθ=+=+ (0)θπ≤≤，恆有

()(),,lPxydxQxydy 0 +=∫

求證：(),0,QPxy 0

x∂≡≡∂．