Peirce定律

近一個世紀， 格理論主要圍繞兩個問題展開，其中一個就是唯一補格。主要是考慮唯一補格與分配性之間的等價關係，peirce定理說的是有補格在附加條件（P）下分配的。在這個定理之後亨廷頓提出了這樣一個問題：peirce的假設是不是唯一補性等價的？換而言之：一個唯一補格是分配的嗎？所以就猜想每個唯一補格都是分配的。但在1945年，廸瓦茲通過證明得到了任意格都可以嵌入到一個唯一格上，推翻了這個猜想。隨後數學家們有提出了一系列的附加條件，使得唯一補格在附加條件下與分配格是等價的。例如：這個格具有完備性或者是原子等。但是至今為止，我們任然沒找到一個更簡潔易懂的費分配唯一補格的例子

基本介紹

• 中文名：皮爾斯定律
• 外文名：peirce定律
• 基本介紹：邏輯中的Peirce 定律得名
• 定律：Peirce 定律允許你通過使用
• 定律陳述：第五圖像(icon)需要排中原理和

基本介紹

邏輯中的Peirce 定律得名於哲學家和邏輯學家查爾斯·桑德斯·皮爾士。它被接受為他的第一個公理化命題邏輯中一個公理。這個公理可以用做排中律的替代者。 在命題演算中，Peirce 定律說的是 ((P→Q)→P)→P。 也就是說，如果你能證明 P 蘊含 Q 強制 P 是真的，則 P 必定是真的。 Peirce 的定律在直覺邏輯或中間邏輯中不成立的。在Curry-Howard同構中，Peirce 定律是一種續體運算。Peirce 定律的證明

在只使用否定和蘊涵運算符的命題演算中，A ∨ B 表示為 (A → B) → B。Peirce 定律等價於 (P → Q) ∨ P 也就是 ¬P ∨ Q ∨ P ，所以它是排中律的推論。

與演繹定理一起使用 Peirce 定律

Peirce 定律允許你通過使用演繹定理來增強證明定理的技術。假設給你一組前提 Γ 而你希望從它們演繹出命題 Z。通過 Peirce 定律，你可以向 Γ 增加(沒有代價)額外的形如 Z→P 的前提。例如，假設我們給出了 P→Z 和 (P→Q)→Z 並且希望演繹出 Z，那么我們可以使用演繹定理來結論出 (P→Z)→(((P→Q)→Z)→Z) 是定理。接著我們可以增加另一個前提 Z→Q。從它和 P→Z，我們可以得到 P→Q。接著我們套用肯定前件於 (P→Q)→Z 作為它的大前提來得到 Z。運用演繹定理，我們得到 (Z→Q)→Z 從最初的前提得出。接著我們以 ((Z→Q)→Z)→Z 的形式使用 Peirce 定律和肯定前件來從最初的前提推導 Z。我們就完成了最初預期的定理證明。 P→Z 1. 假設 (P→Q)→Z 2. 假設 Z→Q 3. 假設 P 4. 假設 Z 5. 肯定前件使用步驟 4 和 1 Q 6. 肯定前件使用步驟 5 和 3 P→Q 7. 演繹自 4 到 6 Z 8. 肯定前件使用步驟 7 和 2 (Z→Q)→Z 9. 演繹自 3 到 8 ((Z→Q)→Z)→Z 10. Peirce 定律 Z 11. 肯定前件使用步驟 9 到 10 ((P→Q)→Z)→Z 12. 演繹自 2 到 11 (P→Z)→((P→Q)→Z)→Z) 13. 演繹自 1 到 12 QED

歷史

Peirce 定律陳述:

第五圖像(icon)需要排中原理和與它連線的其他命題。最簡單的這種公式是:

{(x —< y) —< x} —< x。

這是難於自明的。如下看起來它是真的。它只能在最終結論 x 是假、而它的前提 (x —< y) —< x 是真的時候是假的。如果它是真的，要么它的結論 x 是真，這時整個公式將是真的，要么它的前提 x —< y 是假的。但是在最後一種情況下 x —< y 的前提也就是 x 必須是真的。(Peirce, CP 3.384)。 Peirce 接著指出了這個定律的一個直接套用:

從剛才給出的這個公式，我們立即就得到:

{(x —< y) —< a} —< x，

這裡的 a 在 (x —< y) —< a 意味著從 (x —< y) 能得出所有命題的意義上使用的。通過這種理解，這個公式陳述了排中原理，從否認 x 為假得出 x 為真。(Peirce, CP 3.384)。