K類函式

K類函式是系統與控制理論中,用來比較函式趨勢,對一類函式的統稱。

基本介紹

  • 中文名:K類函式
  • 外文名:class K function
  • 領域:系統與控制
  • 相關概念:L類函式,KL類函式
  • 用處:函式比較,穩定性分析等
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控制理論中,通常需要判斷自治系統的穩定性。為了解決這一問題,我們有必要使用某些特殊的比較函式。K類函式如之的如下一類函式。

定義

K類函式

定義(K類函式):一個連續函式
稱之為K類函式,如果
  • 該函式是嚴格遞增函式;
  • 該函式滿足

K無窮類函式

定義(
類函式):一個連續函式
被稱為 屬於
類函式,如果
  • 該函式屬於K類函式;
  • 該函式滿足
  • 該函式滿足

套用

一個非遞減正定函式
除了嚴格遞增外還滿足K類函式(或
類函式)的所有條件,那么該函式可以通過一下方式被K類函式(或
類函式)限制住上下界:
因此,為了繼續相應的分析,這可以用連續不增正定函式,來限制我們感興趣函式的邊界。

例子

  1. α(r) = tan^−1(r)是嚴格單調遞增的,因為α′(r) = 1/(1 + r2) > 0。所以該函式屬於K類函式,但該函式不是K∞類函式,因為limr→∞ α(r) = π/2 < ∞。
  2. α(r) = r^c, 對於任意正實數c,該函式是嚴格單調遞增的,因為α′(r) = cr^(c−1)> 0。此外,limr→∞ α(r) = ∞;因此,該函式屬於K∞類。
  3. α(r) = min{r, r^2}是連續的嚴格增函式,且limr→∞ α(r) = ∞。因此,該函式屬於K∞類。

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