《Hilbert模的局部化，表示及相關幾何分析》是依託山東大學，由陳立擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Hilbert模的局部化，表示及相關幾何分析
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：陳立
- 依託單位：山東大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
Douglas, Paulsen等數學家從交換代數的觀點出發，創立了Hilbert模這一現代多元運算元理論的基本框架。 局部化和表示作為源於代數的基本方法，對於研究Hilbert模的性質和分類具有重要的意義。本項目擬基於Cowen-Douglas理論，結合復幾何的方法系統研究定義在高維復空間區域上的一類重要的Hilbert模——擬自由Hilbert模的局部化及其幾何不變數，並將其套用於解析Hilbert模的相關分類問題。在此基礎上，本項目擬通過由擬自由Hilbert模給出的表示, 研究更一般的Hilbert模的酉等價和相似分類問題，並揭示表示理論與纖維維數，運算元corona問題，換位提升理論等向量值解析函式空間上重要課題的聯繫。
結題摘要
本項目按照研究計畫，研究了擬自由Hilbert模在解析子流形上的局部化，局部化模的解析分類理論，Specht型不變數，Hilbert模的“局部——整體”判別法則等重要課題。研究成果包括 1分別利用Cowen-Douglas叢的曲率相對於解析簇的切向分量，橫截分量，及混合型分量給出了局部化酉等價的完全幾何分類； 2利用正規標架的度量度量函式及其各階導數在解析簇上的限制給出了局部化酉等價的充要條件，並以此獲得了擬自由Hilberrt模在解析簇上的Taylor Expansion定理；3將Specht關於有限矩陣的數值不變數推廣至運算元值，並套用其給出了局部化模的分類理論，對逐點高階局部化給出了酉等價的Specht型判別法則，並在局部化階數為二的情況下給出了此不變數與曲率的關係；4利用推廣的Specht型不變數給出了基於1階局部化的酉等價判別法則，改進了著名數學家Cowen與Douglas在經典論文“Complex geometry and operator theory中的重要結果。本項目首次建立了Hilbert模在解析子流形上的非平凡局部化理論，且體現了更為顯著的復幾何特徵，並通過對於Specht型不變數的研究，成功的將幾何理論反饋於運算元理論本身。這些工作成功實現了項目研究計畫，是在多變數背景下對Cowen-Douglas理論的本質性發展和推進。
