Hamilton系統的辛幾何算法和對稱算法的定性研究

《Hamilton系統的辛幾何算法和對稱算法的定性研究》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由唐貽發擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：Hamilton系統的辛幾何算法和對稱算法的定性研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：唐貽發
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

基於馮康形式向量場、形式相流理論和B-級數理論，深入研究Hamilton系統辛幾何算法和對稱算法理論方面一些懸而未決的和新近提出的重難點問題，如辛算法形式能量的收斂性和對稱Runge-Kutta方法中共軛辛格式的存在性。

結題摘要

該項目中，我們在Hamilton系統辛幾何算法和對稱算法的理論分析及其在電漿物理中的套用方面主要獲得如下結果： 1. 形式能量在Hamilton系統的辛幾何算法中扮演著無可替代的的重要角色，然而幾十年來其收斂性問題一直懸而未決。我們證明二階對稱的中點格式的形式能量不收斂，而且把這個結果推廣到其它Runge-Kutta方法的修正微分方程。 2. 不依賴於時間的磁場中帶電粒子的迴旋中心動力學歸為一個非正則的Hamilton系統。對迴旋中心的正則描述自然具有理論和實際兩方面的重要性。我們給出了迴旋中心正則化的一般程式，它可由關於只依賴於平行速度 u 的小變數 ε 的一個級數遞歸地表示。我們也首次實現了迴旋中心動力學的正則辛模擬。 3. 沒有一個普適的方法來構造任意非正則Hamilton系統的K-辛算法。我們闡明了哪些情形下可以採用分裂方法構造顯式K-辛算法，從而克服了因尋找坐標變換和正則辛模擬帶來的難度和複雜度。 4. Lorentz系統是電磁場中帶電粒子運動的基本方程組，它是保體積的。我們對一般自治系統構造了新的一族對稱格式，而對Lorentz系統它們又是顯式和保體積的。這些格式是單步的，避免了著名的兩步Boris算法因初值引起的寄生誤差。 5. 我們將對稱的和辛的Runge–Kutta方法分別直接用於迴旋中心動力學的非正則Hamilton系統。數值模擬的結果表明：這兩個算法在保持模擬精度和近似能量方面比高階非對稱非辛Runge–Kutta方法有壓倒性優勢；在給定模擬精度的情況下，它們遠比用於正則化系統的同階中點格式要快得多。