GNS構造

對於R及R的態φ，必存在希爾伯特空間H，向量ξ∈H，以及R在H上的表示ψ，使ψ_φ是以ξ_φ為循環向量的循環表示，而且還滿足φ(x)= (ψ_φ,(x)ξ_φ,ξ_φ)，這就是GNS構造。

基本介紹

• 中文名：GNS構造
• 外文名：GNS-structure
• 適用範圍：數理科學

簡介

循環表示

C*代數的表示是C*代數到某希爾伯特空間上的運算元代數的同態。

設 R 是有單位元 e 的C*代數，H是希爾伯特空間。若存在R到H上的有界線性運算元全體𝓑(H)中的代數同態ψ，滿足ψ(e)= 1，ψ(x*)=(ψ(x))*，則稱ψ是R在H上的表示。

如果ψ是一一對應，則稱ψ是忠實的表示。如果存在ξ∈H，使{ψ(x)ξ|x∈R}在H中稠密，則稱ψ是循環表示，而相應的ξ稱為循環向量。忠實表示必是保范的。

定義

對於R及R的態φ，必存在希爾伯特空間H，向量ξ∈H，以及R在H上的表示ψ，使ψ_φ是以ξ_φ為循環向量的循環表示，而且還滿足φ(x)= (ψ_φ,(x)ξ_φ,ξ_φ)，這就是GNS構造。

推論

由此可知，必存在希爾伯特空間H和ψ，使ψ是R在H上的忠實表示。

態與GNS構造是C*代數中最重要的部分，並且它們還有重要的物理意義。如果C*代數相應於量子系統的觀察量代數，那么態就是量子系統的狀態，而公式φ(x)= (ψ_φ,(x)ξ_φ,ξ_φ)恰為觀察量x在狀態φ中的期望值。