《D-空間與連續統的基數不變數》是依託西南交通大學，由張航擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：D-空間與連續統的基數不變數
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：張航
- 依託單位：西南交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
D-空間是一類具有特殊覆蓋性質的拓撲空間，本項目主要研究D-空間與具有經典覆蓋性質的拓撲空間之間的關係。..D-空間是一般拓撲學目前的研究熱點之一。D-空間與許多經典覆蓋性質之間的關係尚未確定，如正則Lindelof空間是否是D-空間這樣的基本問題仍未徹底解決。該問題已被列入“集論拓撲學的二十個公開問題”[13]之中。申報人在前人工作基礎上，建立了該問題與連續統的基數不變數之間的進一步聯繫，圍繞基數不變數對該問題的影響展開研究，力圖在下列問題上有所突破：..（1）基數不超過cov(N)的Lindelof空間是D-空間嗎？.（2）一般地，當k是連續統的一個基數不變數時，考察基數不超過k的Lindelof空間是否都是D-空間...由於連續統的許多基數不變數之間的關係尚不明了，所以以上問題的解決無論是對D-空間理論還是對連續統基數的進一步研究都具有重要理論意義。
結題摘要
上世紀七十年代，著名數學家Eric van Douwen提出了“正則lindelöf空間是否都是D-空間”的問題，對該問題的研究進展緩慢。近二十年來隨著一般拓撲學的進一步發展，該問題被深入研究，並顯示出較大的理論價值，成為了熱點問題。它加深了人們對覆蓋性質、廣義度量性質的理解，同時研究工具的局限性也暴露出來。 與一般拓撲學聯繫密切的集合論領域在這一時期發展迅猛，產生了若干強有力的研究工具，這些工具在對D-空間理論進行研究時顯示了強大威力，並獲得了富有成效的研究結果，但遠未完善，極具探索價值。 本項目的研究工作正是在這樣的時機和背景下展開的，旨在運用連續統的基數不變數、初等子模型等工具對van Douwen提出的問題進行研究。主要力圖攻克以下問題： （ 1）基數不超過cov(N)（或non(N)）的遺傳lindelöf空間具有怎樣的覆蓋性質？是否都是D-空間？ （2）單調正規的lindelöf（或仿緊）空間是否都是D-空間？ 兩個（類）問題可採取類似地研究思路，就是用可數的初等子模型與空間本身作交集，在這個交集中尋找閉離散的核。方法是把所有（或部分）可能成為核的閉離散集賦予拓撲，研究其拓撲性質，從而與基數不變數聯繫起來。這其中的關鍵在於， （ A）把閉離散集賦予適當的拓撲並研究其拓撲性質； （B）可數初等子模型與空間本身的交集的特性。 在項目執行期間，我們雖未能給出（1）和（2）的完整答案，但對（A）和（B）進行了較為深入的探索，得到的主要結果有： 對於（A）： （A1）定義了三類不同的閉離散集構成的拓撲空間，並研究了它們各自的拓撲性質以及相互聯繫（詳見正文）； （A2）證明了σ-緊空間的部分閉離散集可構成一個解析-P理想（詳見正文）。 對於（B）： （B1）對給定的可數初等子模型M，研究了M-等價類，證明了幾類特殊的單調正規lindelöf空間中的M-等價類只含有兩個元素（詳見正文）。 以上結果對研究D-空間理論有較大的理論價值，其中（A2）和（B1）初步顯示了解析理想和M-等價類的重要性，為研究工作的進一步展開提供了很好的支持和啟發，也可單獨作為研究對象。
