《Cantor集的算術和與平移交及相關問題研究》是依託華東師範大學，由李文俠擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Cantor集的算術和與平移交及相關問題研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李文俠
- 依託單位：華東師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
對Cantor集的算術和(差)的幾何結構分析在微分動力系統的研究中具有重要的意義，近二十年來引起了國際上的廣泛關注。對涉及到線性齊次Cantor集的情形已取得了很好的結果，本項目擬對線性非齊次Cantor集的算術和（差）的幾何結構進行分析研究，尋找其包含一線段或具有正勒貝格測度的充分條件。此外，我們擬給出N-部分齊次線性Cantor集平移交的維數及該平移交為自相似集的充分必要條件。 我們還將研究涉及碼密度的自仿Sierpinski毯的子集的Hausdorff及packing 維數的變分原理，確定多尺度Moran型自仿Sierpinski毯的維數，研究某些分布所對應的Dvoretzky隨機覆蓋問題。項目的研究內容是國際上近期的熱門方向，屬於分形幾何，機率論，動力系統及調和分析的交叉研究領域。
結題摘要
本項目的研究內容涉及(I)Cantor集的算術和與平移交（II）平面自仿Bedford-McMullen Sierpinski毯的研究（III）圓周上隨機覆蓋問題。通過三年的研究，在上述各方面均取得了一定的成績，基本完成了本項目當初所提出的目標。（I）關於Cantor集的算術和與平移交的研究，我們主要分析研究了線性N-部分齊次線性Cantor集平移交的結構，即刻畫了該平移交為自相似集合的充分必要條件，同時也給出了平面上三分Cantor集的笛卡爾乘積與其自身平移交為自相似集合的充分必要條件；探討了線性非齊次Cantor集與自身平移交的分形（Hausdorff,packing,box）維數問題；對Peres和Shmerkin關於兩個線性Cantor集代數和結果的例外情形進行了研究。（II）關於平面自仿Bedford-McMullen Sierpinski毯的研究，我們主要得到了變尺度的隨機自仿Bedford-McMullen Sierpinski毯的分形（Hausdorff,packing,box）維數；給出了涉及碼密度（組碼密度，混合組碼密度）的自仿Bedford-McMullen Sierpinski毯的子集的Hausdorff及packing 維數的變分公式；同時也對Gatzoura－Lalley自仿集的一類子集開展了研究。（III）關於圓周上的隨機覆蓋問題的研究，我們主要是將經典的圓周上的隨機覆蓋問題中使用的Lebesgue 測度替換為一般的機率測度，給出了圓周上的點幾乎處處被一列隨機區間有限次或無窮次覆蓋的條件。
