C^n中有界擬凸域上的陸啟鏗問題研究

《C^n中有界擬凸域上的陸啟鏗問題研究》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由張利友擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：C^n中有界擬凸域上的陸啟鏗問題研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：張利友
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

該申請項目主要研究C^n中有界擬凸域的Bergman核零點問題，國際上稱之為陸啟鏗猜想，主要探索如下幾個國內外公認的具體問題：1. 判斷C^2中是否存在凸域的例子，其Bergman核有零點。主要研究對象包括C^2中具有光滑邊界的二維復橢球。同時也考慮其它能具體求出Bergman核有限形式的低維情形的例子，例如P. Pflug提出並研究的3維極小球（3-dim Minimal ball）等。2. 通過對域的定義參數的刻畫，我們研究C^n中的一般的廣義復橢球在何種條件下是或不是陸啟鏗域, 進而研究其零點解析集的解析與幾何性質。該問題在許多文章中被列為陸啟鏗問題未徹底解決的問題之一。3. 對於C^n中的任意有界擬凸域，陸啟鏗的一個定理把Bergman核的零點問題轉化為無窮維復射影空間的共軛點問題，因此我們還將對測地線的共軛點問題進行研究。

結題摘要

C^n中有界擬凸域的Bergman核零點問題，國際上稱之為陸啟鏗猜想或陸啟鏗問題（該問題目前已被寫入多本多複變函數論與復幾何教材中）。若區域的Berrgman核有零點，則該區域稱為陸啟鏗域，否則成為非陸啟鏗域。 我們的青年項目主要探索和研究了如下幾個與陸啟鏗猜想相關的問題：1. 探索C^2中是否存在幾何凸域，其Bergman核有零點，即是否存在二維凸非陸啟鏗域的問題；2. 判斷C^n中的一般的廣義復橢球在何種條件下是或不是陸啟鏗域； 3. 通過解雅各比方程，求解德西塔及Anti德西塔空間中測地線的共軛點問題。該項目研究進展順利，基本完成了項目既定的研究方案和內容。主要研究結果包括：1. 對於C^n中的復橢球進行了刻畫，證明了其為陸啟鏗域的充分必要條件；對於一般的廣義復橢球，申請人在某些情況下也得到了一些相應的判斷陸啟鏗域的準則。2. 與合作者證明了Anti德西塔空間中的測地線偏離方程,即雅各比方程有周期解，從而測地線有共軛點，而在德西塔空間中，相應的測地線偏離方程沒有周期解。3. 把Bergman核函式的零點看作是雙全純變換下不變的解析集，申請人研究了某些特殊區域Bergman核零點的具體分布情況，這對於Bergman定義的表示坐標能否延拓到邊界提供了依據。4. 對於一般的有界擬凸域，申請人與項目組成員引入了一類全純不變數，通過對該不變數邊界性質的研究，申請人與合作者統一證明了在邊界不含孤立點的平面區域、Kobayashi雙曲區域、強擬凸域上的經典不變度量的等價性、完備性及各種邊界增長估計。