BLACK-SCH

斯克爾斯與他的同事、已故數學家費雪·布萊克在70年代初合作研究出了一個期權定價的複雜公式。與此同時，默頓也發現了同樣的公式及許多其它有關期權的有用結論。結果，兩篇論文幾乎同時在不同刊物上發表。所以，布萊克—斯克爾斯定價模型亦可稱為布萊克—斯克爾斯—默頓定價模型。默頓擴展了原模型的內涵，使之同樣運用於許多其它形式的金融交易。瑞士皇家科學協會(The Royal Swedish Academyof Sciencese)讚譽他們在期權定價方面的研究成果是今後25年經濟科學中的最傑出貢獻。

假設條件

(一)B-S模型有5個重要的假設

1、金融資產收益率服從對數常態分配；

2、在期權有效期內，無風險利率和金融資產收益變數是恆定的；

3、市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；

4、金融資產在期權有效期內無紅利及其它所得(該假設後被放棄)；

5、該期權是歐式期權，即在期權到期前不可實施。

(二)榮獲諾貝爾經濟學獎的B-S定價公式

C=S·N(D1)-L·E-γT·N(D2)

其中:

D1=1NSL+(γ+σ22)Tσ·T

D2=D1-σ·T

C—期權初始合理價格

L—期權交割價格

S—所交易金融資產現價

T—期權有效期

r—連續複利計無風險利率H

σ2—年度化方差

N()—常態分配變數的累積機率分布函式，在此應當說明兩點：

第一，該模型中無風險利率必須是連續複利形式。一個簡單的或不連續的無風險利率(設為r0)一般是一年複利一次，而r要求利率連續複利。r0必須轉化為r方能代入上式計算。兩者換算關係為:r=LN(1+r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，則r=LN(1+0.06)=0853，即100以583%的連續複利投資第二年將獲106，該結果與直接用r0=0.06計算的答案一致。

第二，期權有效期T的相對數表示，即期權有效天數與一年365天的比值。如果期權有效期為100天，則T=100365=0.274。

推導運用

(一)B-S模型的推導B-S模型的推導是由看漲期權入手的，對於一項看漲期權，其到期的期值是:

E[G]=E[max(ST-L，O)]

其中，E[G]—看漲期權到期期望值

ST—到期所交易金融資產的市場價值

L—期權交割(實施)價

到期有兩種可能情況:

1、如果ST>L，則期權實施以進帳(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L

2、如果ST<>

max(ST-L，O)=0

從而:

E[CT]=P×(E[ST|ST>L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L)

其中:P—(ST>L)的機率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值將E[G]按有效期無風險連續複利rT貼現，得期權初始合理價格:

C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)這樣期權定價轉化為確定P和E[ST|ST>L]。

首先，對收益進行定義。與利率一致，收益為金融資產期權交割日市場價格(ST)與現價(S)比值的對數值，即收益=1NSTS。由假設1收益服從對數常態分配，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(μT，σT2)可以證明，相對價格期望值大於EμT，為:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT從而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT

其次，求(ST>L)的機率P，也即求收益大於(LS)的機率。已知常態分配有性質:Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—常態分配隨機變數χ—關鍵值μ—ζ的期望值σ—ζ的標準差所以:P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由對稱性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。因為E[ST|ST]>L]處於常態分配的L到∞範圍，所以，

E[ST|ST]>=S·EγT·N(D1)N(D2)

其中:D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT

最後，將P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定價模型:C=S·N(D1)-L·E-γT·N(D2)

(二)B-S模型套用實例

假設市場上某股票現價S為　164，無風險連續複利利率γ是0.0521，市場方差σ2為0.0841，那么實施價格L是165，有效期T為0.0959的期權初始合理價格計算步驟如下:

①求D1:D1=(1N164165+(0.052)+0.08412)×0.09590.29×0.0959=0.0328

②求D2:D2=0.0328-0.29×0.0959=-0.570

③查標準常態分配函式表，得:N(0.03)=0.5120　N(-0.06)=0.4761

④求C:C=164×0.5120-165×E-0.0521×0.0959×0.4761=5.803

因此理論上該期權的合理價格是5.803。如果該期權市場實際價格是5.75，那么這意味著該期權有所低估。在沒有交易成本的條件下，購買該看漲期權有利可圖。

(三)看跌期權定價公式的推導

B-S模型是看漲期權的定價公式，根據售出—購進平價理論(Put-callparity)可以推導出有效期權的定價模型，由售出—購進平價理論，購買某股票和該股票看跌期權的組合與購買該股票同等條件下的看漲期權和以期權交割價為面值的無風險折扣發行債券具有同等價值，以公式表示為:

S+PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T

移項得:PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T-S，將B-S模型代入整理得:P=L·E-γT·[1-N(D2)]-S[1-N(D1)]此即為看跌期權初始價格定價模型。

模型發展

B-S模型只解決了不分紅股票的期權定價問題，默頓發展了B-S模型，使其亦運用於支付紅利的股票期權。

(一)存在已知的不連續紅利假設某股票在期權有效期內某時間T(即除息日)支付已知紅利DT，只需將該紅利現值從股票現價S中除去，將調整後的股票價值S′代入B-S模型中即可:S′=S-DT·E-rT。如果在有效期記憶體在其它所得，依該法一一減去。從而將B-S模型變型得新公式:

C=(S-·E-γT·N(D1)-L·E-γT·N(D2)

(二)存在連續紅利支付是指某股票以一已知分紅率(設為δ)支付不間斷連續紅利，假如某公司股票年分紅率δ為0.04，該股票現值為164，從而該年可望得紅利164×004=　6.56。值得注意的是，該紅利並非分4季支付每季164；事實上，它是隨美元的極小單位連續不斷的再投資而自然增長的，一年累積成為6.56。因為股價在全年是不斷波動的，實際紅利也是變化的，但分紅率是固定的。因此，該模型並不要求紅利已知或固定，它只要求紅利按股票價格的支付比例固定。

在此紅利現值為:S(1-E-δT)，所以S′=S·E-δT，以S′代S，得存在連續紅利支付的期權定價公式:C=S·E-δT·N(D1)-L·E-γT·N(D2)