《Arakelov 不等式及其算術性質》是依託復旦大學，由徐萬元擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Arakelov 不等式及其算術性質
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：徐萬元
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本課題主要研究代數曲面纖維化中的 Arakelov 不等式及其在算術幾何上的套用。Viehweg, Zuo 及 Möller 證明 Arakelov 不等式等號成立若且唯若底曲線是一條 Shimura 曲線。這將纖維化的相對不變數的研究與著名的 Oort 猜想聯繫起來: 對於虧格大於等於8，Shimura 曲線不一般的落在 Torelli 軌跡中不存在。我們希望利用纖維化的相對不變數來判斷 Arakelov 不等式何時成立進而得到 Torelli 軌跡中何時存在 Shimura 曲線。自然地，我們還試圖將 Arakelov 不等式推廣到正特徵情形，我們的主要研究方法來源於 Langer 教授 (Invent. Math.) 最近在 Higgs 層的 Bogomolov 不等式方面的工作。我們還繼續與 Mina Teicher 教授等利用變子群理論合作研究一些一般型曲面的基本群。
結題摘要
本課題主要研究代數曲面纖維化中的Arakelov不等式及其在算術幾何上的套用。首先我們還試圖將Arakelov不等式推廣到正特徵情形。這一問題的主要困難在於如何得到纖維化對應希格斯叢的穩定性。我們在正特徵的虧格大於1的半穩定纖維化帶有長度為2的Witt提升下證明了Arakelov不等式，進而證明了Vojta型不等式。這是纖維化理論在正特徵情形的一個重要進展。我們還利用纖維化的不變數的理論與Arakelov型不等式，給出了纖維化的Mordell-Weil秩的一個新的上界，可以看做著名數學家Shioda關於虧格1纖維化的Mordell-Weil秩的上界在高虧格纖維化情形的推廣。 此外我們與以色列巴伊蘭大學 Mina Teicher教授等人利用變子群理論合作計算一些一般型曲面的基本群。一般型曲面的基本群在一般情況下是很難計算的，我們利用Moishezon-Teicher的辮子單值計算方法，詳細的計算了一類帶有特殊退化的曲面的伽羅華覆蓋的基本群，詳細來說我們計算了E_k型Zappatic形變曲面的伽羅華覆蓋的基本群，有理直線與橢圓曲線的(2,3)型退化的伽羅華覆蓋的基本群。通過這些計算，我們構造了一些拓撲指標為零的一般型曲面。
