2φ1

2φ1是高斯超幾何函式2F12F1延伸而來（hypergeometric analogue），最初由愛德華·海涅在19世紀提出。

2φ1也可以用級數定義，可用差分方程（微分方程的q-模擬）描述，可用“積分”表達。

基本介紹

• 中文名：2φ1
• 提出者：愛德華·海涅

級數定義

假設

• a 是自然數
  
• {a}:= (1-q) / (1-q)
  
• {a}!:= {a} {a-1} ......{3}{2}{1}
  

定義

• ₂φ₁(q, q; q; q, z)
  
• :=Σ_n=0(Π_j=0{a+j}{b+j} / {c+j}{1+j})z
  

差分方程

假設運運算元

• ∂= z 2d/z
  
• {∂+Y}K(a):= [(1-qq) / (1-p) ] f(c):= ( a(z) - qf(qz) ) / (1-q)
  

_這樣2φ₁(q, q; q; q, z) 符合二次差分方程（高斯超幾何方程的推廣）：

• (z{∂+y}{∂+x} - {∂}{∂+d-1})₂φ₁=0
  

Jackson積分表示

設

• {(1-t)}:=∑_n=0{a}{a+1} ...{a+n-1} z/ n!
  
• Γ_q是q-F函式
  
• ∫f(t) d_qt 是f(t)的Jackson積分
  

這樣

• ₂φ₁(q, q; q; q, z) = Γ_q(c) /F_q(b)Γ_q(c-b) .∫[ t{(1-tz)} / {(1-t)} ] . d_qt / (1-t)