黑林格－特普利茨定理

黑林格-特普利茨定理是數學泛函分析的定理，以德國數學家恩斯特·黑林格和奧托·特普利茨命名。

基本介紹

• 中文名：黑林格－特普利茨定理
• 外文名：Hellinger–Toeplitz theorem
• 分類：數理科學

敘述

設 為希爾伯特空間， 是處處定義的對稱線性運算元，即對任意 都有等式

。

那么， 有界（因此也是連續）。

證明

從閉圖像定理可知，只需證明：如果序列 趨於0， ，那么 。因為內積在 上連續，故得

=0

所以y=0.

推論

1、任何對稱且在 上處處定義的運算元是自伴運算元。

2、無界自伴運算元最多只能定義在希爾伯特空間的一個稠密子集上。

物理結果

這定理帶出了量子力學的數學基礎的一些技術難題。量子力學中的可觀察量對應到某個希爾伯特空間上的自伴算符，但一些可觀察量（如能量）的算符是無界的。這定理說這些算符不能處處定義，只能定義在稠密子集上。

以量子諧振子為例。這時希爾伯特空間是，即上平方可積函式空間，能量算符定義為（設其單位選取使得）

這算符是自伴無界的（其特徵值為1/2, 3/2, 5/2, ...），所以不能在整個上定義。