高階奇點托姆定義

高階奇點托姆定義是高階奇點的一種定義，是對一階奇點進一步分類的一種方法。在一階奇點分類不足以充分刻畫其性質時可做更細微的分類方法。

基本介紹

• 中文名：高階奇點的托姆定義
• 外文名：higher order singularities , the definition of Thom
• 適用範圍：數理科學

簡介

高階奇點托姆定義是高階奇點的一種定義，對一階奇點進一步分類的一種方法。在一階奇點分類不足以充分刻畫其性質時可做更細微的分類方法，奇點的 分類（即一階奇點）還不夠精細，映射在兩個同一類型 的奇點上，可能具有極不同的性態。因此有必要對奇點做進一步的分類，托姆(Thom,R.)提出了一個構想。

托姆構想

先從一個具體的例子來看托姆的思想，考慮映射f如下:

f 的雅可比矩陣為

根據 型奇點的定義， 為平面上的拋物線，除去拋物線 之外，整個平面的其餘部分為 。

拋物線 是 R上的光滑曲線，因此可以考慮 f 在 上的限制映射 ，此時，原點是 的 型奇點，奇點集 記為 。拋物線 除原點外其他點皆為 型奇點，奇點集 記為 。

這樣就把 f 的奇點集 進一步分為兩類奇點 和 。

對一般情況，托姆的構想如下：設 f:M→N 是光滑映射，若奇點集 是 M 的子流形，則可以考慮 f 在 上的限制映射 的 型奇點集記為 ，即 ，稱為 f 的 型奇點，這是二階奇點，若 還是 M 的子流形，則可以仿照上述構造三階奇點

最一般的情形，可以歸納構造如下：對於任意非負整數集 ，若

已確定並且是 M 的子流形，則 就記為 ，即 的 型奇點稱為 型奇點。

圖1.