高維隨機向量相關結構的檢驗問題研究

《高維隨機向量相關結構的檢驗問題研究》是依託復旦大學，由張新生擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：高維隨機向量相關結構的檢驗問題研究
• 依託單位：復旦大學
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：張新生

項目摘要

該項目主要研究高維隨機向量的相關結構的檢驗問題。研究的主要內容是：（1）在參數維數p大，樣本容量n小的情形下研究隨機向量的非Pearson相關關係的檢驗問題（2）在不同矩陣範數度量下，考慮對兩樣本高維隨機向量的相關結構的檢驗問題（3）對Ornstein-Uhlenbeck過程和由Levy過程驅動的Ornstein-Uhlenbeck過程研究其相關結構的檢驗問題（4）對高維隨機過程模型或時間序列模型考慮同時檢驗時間和空間的相關結構。對於隨機向量的相關結構的檢驗問題是多元分析的一個基本問題，在小p，大n的情形下，已取得完美的結果。但在當前的大數據時代，小n，大p的問題比比皆是，傳統的似然比檢驗的方法已不再可行。該課題的目的就是將傳統的統計檢驗問題與方法更新改造，並且創新，使之能夠用於大數據時代的數據分析。同時，該課題在研究過程中也會帶來統計方法與統計工具等方面的創新。

結題摘要

本項目研究高維隨機向量相關結構的檢驗問題，取得如下研究結果： （1）關於高維數據的相關性檢驗: (a)提出了檢驗高維 U 統計量矩陣的統一框架。這一框架可以處理多種基於秩的相關矩陣。將其套用於 Kendall 的 tau矩陣的檢驗，證明了方法的最優性。(b) 提出了一種數據自適應檢驗，它能夠對備擇假設無論是稠密還是稀疏情形下均具有很好的功效。 利用乘子自舉法得到了檢驗統計量的近似極限分布，討論了包括漸近性和檢驗功效等理論性質。 (2) 討論了平穩隨機過程分位數- 耦合交叉協方差函式的一些基本性質; 基於離散抽樣, 給出了分位數- 耦合交叉協方差函式的估計量, 並證明了其相合性; 並將估計方法套用於船體振動序列自相依性質分析, 為船體振動模型選擇提供借鑑. (3) 討論高維數據變的檢驗問題，(a) 對於時間序列數據，我們構建了一個新的檢驗統計量族，並將它們結合起來以適應不同總體分布的尾部。 由於最終的檢驗統計量很複雜，因此我們設計了一種低成本自助法來近似其極限分布。(b) 對於存在協變數閾值參數的高維單指標門限回歸模型. 提出基於l1範數懲罰方法來估計回歸係數和閾值參數, 並且提出一種近端梯度算法來檢測可能存在的變點. 在一定的稀疏條件下, 得到回歸係數估計量l1 範數下估計誤差和預測誤差的非漸近Oracle 不等式.（4）高維具有相關結構為Gauss Copula 等相關模型的研究， (a) 提出了恢復Gauss 關聯結構(copula) 圖模型的充分降維方法, 該方法在超高維情形下具有很高的計算效率.（b）研究了高維高斯copula回歸模型的變數選擇問題。我們將變數選擇問題轉化為多重檢驗問題，避免了正則化參數與錯誤發現的變數數或停止規則的決定之間的模稜兩可的關係。 （c）我們提出了一種靈活的半參數回歸模型，稱為橢圓Copula回歸（ECR）模型，ECR模型可以捕獲變數之間的重尾特徵和尾部相關性。對ECR模型，我們提出了一種穩健的變數選擇方法。（5）我們在橢球因子模型（EFM）框架下，提出了一種有效且穩健估計其因子個數的方法。 證明了當橫截面N和時間維度T都為無窮大時，所提出的估計量是一致的。