高等數學競賽培訓教程——高等數學例題精選（第2版）

內容簡介

本書第1版於2011年問世，頗受讀者及競賽組織者的歡迎，讀者可能已經看到，本書第1版中收集的某些題，與之後的某些競賽題同，說明這些題有代表性，第1版經3次印刷，已告罄，現將本書修改再版.再版主要修改的有：刪去每章前的“主要內容”提要，以便不受其影響；刪去一些過於簡單的例題和習題，收集進了某些競賽中有意思的題，這些題大都是基礎性的，但有技巧.除此之外，各章增添的內容大致有以下幾個方面.

1.關於映射的不動點問題以及映射的疊代的題，增添了某些數列極限的題.

2.增刪了一些用微分學或積分學處理的不等式問題和零點問題的題.

3.反常積分是競賽中經常涉及的內容，其中頗多技巧.今將反常積分單獨列為一大段，介紹了反常積分的極限形式判斂法，狄利克雷判斂法與阿貝爾判斂法，在一定條件下反常積分斂散性與級數斂散性的等價關係，增添了與此相關的內容、例題與習題.

4.增添了以微分方程為背景的有關極值、凹凸性、定義域的題.增加了二階線性微分方程的任意常數變動法，用分部積分求恰當線性微分方程的解，判定線性微分方程為恰當微分方程的充要條件以及與此相關的題.

5.在向量代數與空間解析幾何一章中，引入了蘇聯人編寫的《數學手冊》中關於二次曲面用它的係數十分細緻的具體分類，以饗讀者.並且增添了討論兩二次曲面（或平面與二次曲面）相交的某些幾何特徵的題，求一般柱面方程及錐面方程的題.

6.類似於定積分的分部積分法，增添了二重積分與三重積分的分部積分法，增添了二重積分與三重積分的曲線（面）坐標變換，巧妙地利用廣義極坐標、廣義球坐標計算積分，用微元法計算三重積分、曲線積分與曲面積分，以及與它們有關的題.

7.增添了分母為二次式的有理函式展開成麥克勞林級數並判定餘項趨於零的題.一般教科書，只介紹其分母可分解為兩實因式之積的情形，並且採用間接展開法從而避開了餘項的討論.作者悉心研究得出，無論是分母可分解為兩實因式或否，在實數範圍內都可用直接法求出此函式的麥克勞林級數並方便地證明其餘項在收斂域內趨於零.如果引入復係數，那么眾所周知，也可用間接展開法展開成麥克勞林級數.作者將此結果在此書中獻給讀者.

修改後，本書共有例題362道，習題430道，與第1版相比，例題與習題增刪總量以及全書篇幅的改動超過30%.

本書第2版不但仍可作為競賽培訓教程，並且也可以作為高等數學及工科數學分析教材的教輔書，供有關學生特別是有關老師參考.作者在此還應向本書引用的競賽題的組織者和命題人致謝，感謝他們的大力支持.

蔡燧林[]2015年10月於浙江大學數學科學學院第1版前言摘錄高等數學競賽培訓教程——高等數學例題精選（第2版）第1版前言摘錄

高等學校（特別是理工類）師生，為講授、學習高等數學，常因例題、習題過淺而提高不了興趣或掌握不了問題的實質.參加競賽，也只能抱著試試看的心情倉促上馬，準備時也因缺少參照物而無法下手.數學專業的學生，也可能因運算在某些方面比不上其他理工類的學生而感到煩惱.本書就是為填補這些空白而編寫的.

全書共分8章，每章分若干節，每節分若干大段.由於篇幅不能太長，所以本書中不列出定義、定理、公式.而對於一般教科書上未深入提及的某些概念之間的關係和重要定理的證明，以及一些方法的闡述，在本書中有時用例題的形式，有時通過一些例題的啟發用“分析”與“\[注\]”的形式給予介紹.例如，讀者在本書中將會看到如下一些內容，曲線凹向幾個等價性定義的證明，一般情形下如何求錐面、柱面、旋轉面的方程，二元函式的二重極限與逐次極限，連續，偏導數，全微分，方嚮導數等之間的關係及各種情形下的反例，混合偏導數不相等的例子，多元函式各種積分方法的例子，級數收斂性的阿貝爾判別法與狄利克雷判別法，傅立葉級數的封閉性方程等.

高等數學競賽培訓教程——高等數學例題精選（第2版）

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