高登─湯普森不等式

在物理學和數學上，高登─湯普森不等式（Golden–Thompson inequality）是一個由Golden (1965)和Thompson (1965)二氏所證明的不等式，此不等式在統計力學上相當重要，而此不等式一開始也是由此而生的。

貝多蘭‧康斯坦多（Bertram Kostant）在1973年利用康斯坦多凸性定理（Kostant convexity theorem）將此不等式推廣到所有的緊緻李群（compact Lie group）之上。

基本介紹

• 中文名：高登─湯普森不等式
• 外文名：Golden–Thompson inequality
• 學科：數學

詳解

在物理學和數學上，高登─湯普森不等式（Golden–Thompson inequality）是一個由Golden (1965)和Thompson (1965)二氏所證明的不等式，該不等式的定義如下：

若 和 是埃爾米特矩陣，則以下不等式成立：

其中 指的是矩陣的跡，而 則是矩陣指數。此不等式在統計力學上相當重要，而此不等式一開始也是由此而生的。

貝多蘭‧康斯坦多（Bertram Kostant）在1973年利用康斯坦多凸性定理（Kostant convexity theorem）將此不等式推廣到所有的緊緻李群（compact Lie group）之上。

一般化

Lieb（1973）將不等式推廣到三個矩陣，並且Sutter，Berta和Tomamichel（2016）將任意數量的矩陣推廣到不等式。對於三個矩陣，它採用以下公式：

其中 是由矩陣對數給出的矩陣對數的導數 。

Bertram Kostant（1973）使用Kostant凸性定理將Golden-Thompson不等式推廣到所有緊緻李群。