高位試商法

高位試商法是根據除數和被除數待除部分的高數位上的數字，將多位數除法轉化為表內除法，利用乘法口訣依次確定商的各位數的方法。

基本介紹

• 中文名：高位試商法
• 提出時間：2011
• 套用學科：高等數學
• 適用領域範圍：確定高數位上的數字

原理

除法運算以及試商中，除數居於支配地位，起主導作用。表內除法用乘法口訣試商。除數是一位數的除法，轉化為表內除法計算，用乘法口訣試商。一位數除法轉化為若干個表內除法計算是一位數除法計算的原理。表內除法和一位數除法用乘法口訣試商的方法，應當叫做乘法口訣試商法。

除數是多位數的除法，沒有轉化為表內除法，未按表內除法計算以及用乘法口訣試商；其實是能夠的，就是說多位數除法計算的原理與一位數除法計算的原理相同，也能統一用乘法口訣試商。因為記數遵守位值原則，高數位及其數字的計數單位較大，在決定數值上起主要作用，低數位及其數字的計數單位較小，在決定數值上作用不太大。低數位上的數字經過四捨五入後均為0且只占有數位。所以，多位數除法試商時，除數的低數位及其數字可以不予考慮而捨去，只取其四捨五入後最高位上的數字參與試商。它與每次試出的商的積是一位數或兩位數，因此每次試商時被除數只需待除部分的前一位或前兩位的數字。這時，除數和待除部分捨去的數位位數以及縮小的倍數相同。根據商的性質，多位數除法只要除數的高位數字和被除數各待除部分中的高位數字相互配合就能確定商的相應各個數位上的數字。這樣，除數位數不論多少的除法，都能轉化為表內除法並按表內除法計算，為利用乘法口訣試商創造了條件。

定位原則

一個除法算式（末尾不添0能除盡）轉化的表內除法算式的個數和商的位數，由被除數和除數的位數共同決定。初商時位數相同不夠除，其個數或位數等於被除數位數減除數位數的差；否則還要多一個或一位。商的某一位數字的數位與被除數被除到的那一位的數位相同，這是商的每一位數字的定位原則和定位方法。與除數最低計數單位相同的被除數相應的數位，對應商的個位，這是商的個位的判定方法，又叫商的定值原則。

步驟

用此法試商和筆算除法的步驟是：先分別定除數和被除數各待除部分的參與試商的數字，即依次轉化為各個表內除法算式；然後逐個表內除法算式用乘法口訣試商；最後依次一一確定相應各數位上的商，並照現行寫商位置和算法進行寫商與計算。

做法套用

定除數的高位數字一般用四捨五入法，並只保留一位有效數字。如62、26、192、306、9365、14807等除數，高位數字分別為6、3、2、3、9、1。除數第一位數字是9第二位數字不小於5時，高位數字不固定有兩種情形。位數相同夠除時除數高位數字規定為9，如9984÷96和9595÷95初商時；位數相同不夠除時除數高位數字規定為1，如9868144÷9988和9405÷95初商時。

接著採用去尾法依次定被除數里參與試商的數字以及試商。初商時除數與被除數待除部分位數相同夠除，由其高位數字試商，以後一位一位地試商。如9016÷28，由3和9試初商3，十位商由3和6試商2，個位商也是2，得322；7696÷148由1和7試初商，除數捨去的數較多，商7時少算近350，相當於多了2個148，初商7偏大調為5，個位商由1和2試商2，得52。初商時位數相同不夠除，被除數里要多一位才夠除，由除數的高位數字和被除數待除部分的前兩位數字試商，以後一位一位地試商。如4650÷62由6和46試初商7，由6和31試個位商5，得75；143232÷192由2和14試初商7，由2和8試十位商4，由2和11試個位商5偏小調為6，得746。

從除數通過五入定高位數字試商可知，待除部分定試商數字有的可用收尾法。如11520÷192由2和12、546÷26由3和6而確定十位商6和2，且不調商。除數捨去的數較多時，商往往誤差較大。這時，除數和待除部分都用收尾法定試商數字試商，能夠縮小誤差和調商範圍。例如，123939÷141初商12顯然不行；用2和13試初商6，商6時約多算360+30=390（6×59+1239-6×200）,相當於少了2個141，初商調為8；十位商由2和12試商6，360-90=270（6×59+1113-6×200）相當於少了1個141，再調為7；個位商由2和13試商6，360+60=420（6×59+1269-6×200）相當於少了3個141，調為9。 除數第一位數字是9第二位數字不小於5的除法，被除數的待除部分只取最高位數字。位數相同夠除由9和最高位數字試商，不夠除由1和最高位數字試商。如9984÷96由9和9試初商1，試十位商時38比96小而商0，由1和3試個位商3偏小調為4，或由1和4確定個位商4，商104。進而可知，商中間和末尾有0的除法用此法試商也可行，不會出現商幾又調為0的情況。

小數除法用此法試商同樣適用。如96.2643÷9.41轉化為9626.43÷941，由9和9試十位商1，個位商為0，十分位的商由9和21、百分位的商由9和28試商，得2與3，商10.23。

調商

調商有規律，也有方法計算並進行量化分析。除數定高位數字五入時可能偏小要調大，四舍時可能偏大要調小，調整範圍一般在1、2之間。調商的計算方法因而不同分為兩種。除數五入時，待除部分減試商積的差，加補數積的和，比除數大時商應上調，夠幾倍就調大幾。如11632÷192試初商5，則1163－5×200+5×8=163+40=192+11，調為6；209÷26試商6，則209－6×30+6×4=29+24=2×26+1，調為8。除數四舍時，試商積加捨去積的和，減去待除部分的差，大於0而不大於除數時商下調1，大於除數而不大於2倍除數時商下調2，余類推。如430÷62試商7，則7×60+7×2－430=4=62－58，調為6；7696÷148試初商7，則7×100+7×48－769=267=2×148－29，調為5。由以上可知，試商積比待除部分五入時略大、四舍時略小往往可行，多可準確試商。

有益效果

高位試商法就是多位數除法的乘法口訣試商法，原理科學，方式統一，整、小數除法試商通用，調商有規律能計算，試商準、快、好。