高中導數進階教程：深入探究與技巧提升

內容簡介

本書是將高中導數方法總結得較為全面的一本書。

第一章從極限與導數的概念出發，嚴格地推導出了導數的各種常見結論，如求導法則、達布定理、中值定理、泰勒展開式等。

第二章簡述了導數套用的兩個主要方面：函式與幾何。歷史上，對函式與幾何的研究是導數發展的主要推動力，我們現階段只能接觸到其中最粗淺的部分。

第三章是按照導數的解題方法技巧組織編寫的，涵蓋了導數的常見解題方法，如高考熱點問題隱零點、參數法、放縮法等。

第四章是按照具體函式的常見不等式組織編寫的，包含了指數、對數、冪、三角函式的各種重要不等式。熟記這些不等式是必要的。例如目前的一個高考熱點是數字比大小，往往需要構造函式證明不等式，而如何構造函式，則需要同學們胸中有丘壑，提前知道這些函式不等式。另外，第四章還介紹了一個得到新不等式的重要思路：鬆弛法。

第五章“數值估算”是本書的一個特色，其中很多內容來自大學的“數值分析”課程。從這裡，同學們可以系統地學習到鬆弛法、插值法、復化積分法、外推法、疊代法等，這些方法經過筆者的總結與改造，可以比較好地用來解決高中導數問題。

圖書目錄

第一章導數基礎

1.1 極限

1.1.1 極限的概念

1.1.2 極限的性質

1.2 導數的概念與求導公式

1.3 微分中值定理

1.3.1 一階導數與單調性

1.3.2 二階導數與凹凸性

1.3.3 三階導數與極值點偏移

1.3.4 n階導數與泰勒展開式

1.4 積分

1.4.1 定積分的概念

1.4.2 牛頓-萊布尼茨公式

第二章導數的套用

2.1 極值與最值

2.2 切線

2.2.1 切線的概念

2.2.2 切線的臨界性

2.2.3 切線條數問題

2.2.4 公切線問題

2.3 法線

2.3.1 最短距離

2.3.2 萬有引力定律

2.4 擺線

2.4.1 旋輪線

2.4.2 等時線

2.4.3 最速降線

第三章導數的解題技巧

3.1 分類討論

3.2 多次求導

3.3 參變分離

3.4 端點現象

3.5 隱零點

3.6 韋達定理與隱零點消參

3.7 變形與構造證明極值點偏移問題

3.8 參數法

3.9 放縮法

3.9.1 一般放縮

3.9.2 切線放縮

3.9.3 用切線法求數列的和

3.9.4 以直代曲

3.9.5 以曲代曲

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