非線性雙曲方程的高階HWENO方法的研究和套用

《非線性雙曲方程的高階HWENO方法的研究和套用》是依託太原理工大學，由劉紅霞擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：非線性雙曲方程的高階HWENO方法的研究和套用
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：劉紅霞
• 依託單位：太原理工大學

項目摘要

高階HWENO數值方法因兼有WENO數值方法的精度高、適合處理間斷問題、易於處理複雜計算區域以及求解模板更窄(具有緊性)、求解節點的自由度更大等優點，迅速發展成為當今科學計算高分辨方法的研究前沿與熱點。但有限差分HWENO數值格式的研究，目前尚不夠全面、系統，而且對其數值計算的性質研究也不完善。本項目主要從算法角度，研究有限差分形式高階精度的HWENO數值方法及性質，完善HWENO數值方法體系。 其次是對此方法的推廣和套用，我們將基於我們之前對雙曲守恆律提出的HWENO數值方法向多種不同形式的方程進行推廣，具體研究方程有對流占優的對流擴散方程、衰減的拋物方程和雙曲-橢圓的混合方程等的推廣，並系統的推導出求解這些方程的適當的數值格式，推廣中的難點是導數方程中交叉項的處理問題。最後是三維數值格式問題，我們將在二維HWENO數值格式的基礎之上，直接推導出其三維形式，並就數值計算驗證格式的穩定性。

結題摘要

求解雙曲守恆律方程的有限差分HWENO方法具有精度高、求解高效、易於處理複雜邊界問題等優點。而且在高分辨的數值方法中, HWENO方法不僅承繼了WENO方法的優良性質：在解的光滑區域具有一致的高階精度，在解的間斷處保持陡峭的、本質無震盪的過渡；而且求解模板更窄，增加了格式的緊性，求解節點的自由度更大。HWENO方法的這些優點，使得它迅速發展成為計算流體力學的熱門方法之一，並推廣和套用到了許多其他領域，是當今科學計算高分辨方法的研究前沿與熱點。HWENO方法的提出，雖然已經做了一些工作，並且也得到了很好的套用，但主要針對有限體積形式，有限差分及其他形式的HWENO方法研究較少，而且求解的套用範圍也很有限，目前，國內外關於該方法的研究工作尚且貧乏，不夠全面、系統，而且對其數值計算的性質研究也不完善。因此本項目的研究主要從算法角度具有兩方面的意義：一是研究了有限差分形式高階精度的HWENO數值方法及性質（如對有限差分形式的數值格式研究、及數值通量的選取、理論分析等），完善了HWENO數值方法體系；二是將提出的格式的推廣和套用，基於我們之前對雙曲守恆律提出的HWENO數值方法用於雙曲方程以外工程問題的方程求解。在不同的套用領域中所需要研究的方程各異，而經常碰到的方程求解中的問題是求解過程中出現間斷或大梯度問題，HWENO數值方法是處理間斷問題的很好的數值方法。考慮到微分方程的求解中，帶間斷的問題求解比較棘手，一般的高階格式在處理間斷時可能會產生虛假震盪，從而尋求求解這類方程的數值方法吸引了越來越多的科研和工程技術人員。具體研究方程有對流占優的對流擴散方程、衰減的拋物方程，並系統的推導出求解這些方程的適當的數值格式，推廣中的難點是導數方程中交叉項的處理問題。最後，並就數值計算驗證格式的穩定性和可行性給出數值驗證。