非線性色散方程的長時間行為

《非線性色散方程的長時間行為》是依託北京大學，由劉保平擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：非線性色散方程的長時間行為
• 依託單位：北京大學
• 項目負責人：劉保平
• 項目類別：青年科學基金項目

項目摘要

此次項目專注在兩類問題，一類是波方程任意有限能量解的長時間動態，主要是對於帶位勢和高維波方程來驗證孤立子猜想。 申請者在之前有一系列與此相關的工作，並且已經熟悉了最新的技術，將在借鑑Duyckaerts-Kenig-Merle的一系列工作的同時，深刻分析每一個具體問題的限制，引入新的技術； 第二類問題是Chern-Simons-Schrodinger系統的孤立波的穩定性研究，此類問題與Schrodinger映射有一定的共通性，但也有本質的區別。申請者將分析和比較兩類問題的差別，以及這些差別帶來的本質困難，主要是如何考慮新的能量泛函和在有零特徵值和零共振情況下如何解決色散估計的問題。..這兩類問題都是來自於物理模型，有著重要的理論和實踐意義。

結題摘要

此次研究項目主要是基於近年來國際上關於色散方程研究的熱點和重點，希望做出一些自己的貢獻。具體來講，我們主要是關註解的長時間行為，特殊解的穩定性的精細刻畫等問題。 這些問題的本質都是對於大初值解的研究，這在偏微分方程的研究中一直是重點和難點，通常需要新的想法和技術。對於帶位勢的非線性波方程，我們成功的給出了所有整體解的長時間刻畫，並且構造了不穩定態解所對應的整體中心流形。 在這個過程中我們引入了新的方法，使得這類結果可以由之前的球對稱情形推廣到一般情況。這為我們更好的理解一般方程的長時間動態行為和孤立子分解猜想提供了更多的理論支持。