《非線性演化方程的數值方法研究及在生物模型上的套用》是依託中國科學技術大學，由張夢萍擔任項目負責人的重大研究計畫。
基本介紹
- 中文名：非線性演化方程的數值方法研究及在生物模型上的套用
- 項目類別：重大研究計畫
- 項目負責人：張夢萍
- 依託單位：中國科學技術大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目主要是針對與一系列目前流行的生物模型相關的各種非線性演化方程，發展新型數值方法，進行深入系統的研究。本項目中涉及的模型問題可分為二大類：輸運類問題和對流擴散類問題。人們對它們的數學性質的認識至今為止是非常有限的。輸運類模型方程是極其高維的，方程含複雜的積分源項、密度函式保正值；對流擴散類模型方程是高度非線性、密度函式保正值；而且，邊界條件與密度函式在整個區域上的積分有關。這給設計高效、可靠的數值方法帶來很大的困難。本項目將以間斷Galerkin有限元方法和加權本質無振盪方法為基礎，圍繞生物模型中物理量的特殊性質以及本項目中非線性演化方程的特點，設計新型數值方法，對模型進行數值模擬，開展理論與數值研究，提高對生物模型的數學性質和物理內涵的認識，改進模型，更好地反映生物演化規律。
結題摘要
本項目主要研究隨機遊走生物模型和高維生物競爭系統模型，以及基於目前一些流行的數值方法的新型數值方法的構造與發展。隨機遊走生物模型描述在適當環境中單細胞細菌種群密度隨時間的變化，反映單細胞生物（如細菌）的集體運動行為。對於遵循布朗運動過程的隨機遊走，我們得到了模型的能量估計，證明了方程解的保正性。對該模型，分別構造了DG方法、我們提出的一種基於解在格點值的Lax-Wendroff時間離散有限差分WENO方法、以及不僅能夠使數值解保正，且不破壞精度的保正方法，同時進行了數值研究。具有生態鏈結構的高維生物競爭系統模型刻化了具有單生物鏈結構或生物活動區域具有分層的競爭現象。我們分別研究了相應系統的動力學性質與系統的結構穩定性。將著名數學家J.Hale等的二維生物競爭系統的結論完整推廣至高維時間依賴的情形，並獲得十分有趣的生物學解釋。同時，將著名數學家Mallet-Paret與Smith關於循環負反饋系統的理論做了進一步深化，並部分回答了該系統的結構穩定性。對具有三角對角結構的競爭反應-擴散方程組的單調行波解的存在性做了深入研究。此外，我們還對於非緊拓撲群作用下的單調的非自治系統，證明了關於穩定1-覆蓋不變集的群對稱性及群單調的二擇一定理，套用於幾乎時間周期拋物方程(組)的雙穩行波解，證明了雙穩行波解單調性與穩定性的等價性。針對守恆律方程，我們發展了一種守恆的有限差分WENO方法。通過對解和它的各階導數進行WENO插值來構造數值流函式。該方法對於標量方程，可以使用任意的單調流函式；對於方程組，可以使用任意的Riemann近似解運算元；在曲線坐標上，格式能夠保持自由流。此外，將近幾年發展起來的高精度差分格式CPR方法與WENO限制器相結合，有效地控制間斷處的數值振盪，同時保持了CPR格式的優勢。上述工作主要發表在SIAM Journal on Scientific Computing，SIAM Journal on Mathematical Analysis等相關專業國際高水平刊物上。在項目執行期間，共發表論文6篇、接受發表2篇。培養博士畢業生2人，碩士畢業生1人，出站博士後1人。
