非標準算術模型(nonstandard model of peano arithmetic)是皮亞諾算術理論的一種模型，指與自然數模型N初等等價，但不同構的模型。自然數集合的皮亞諾公理(Peano Axiom)不僅有通常的自然集N為其標準模型（即包括可數多個元素），還有包括不可數多個元素的模型，這就是所謂的非標準算術模型。第一個非標準算術模型是由斯柯倫在1934年首先構造出來的。
基本介紹
- 中文名：非標準算術模型
- 外文名：nonstandard model of peano arithmetic
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：現代邏輯(模型論)
- 相關概念：皮亞諾算術理論，緊緻性定理等
基本介紹,Peano算術公理,背景介紹,
基本介紹
標準模型(standard model)是指滿足一定條件的模型，在以自然數、有理數、實數、複數等標準的數學結構的研究中，當我們試圖通過公理化，把它們置入一階謂詞演算中以構成一階系統時，就能發現該系統的模型之間結構可以相同也可以不相同。通常把與原來的結構同構的模型稱為標準模型，反之稱為非標準模型。其定義為：令S為一數學結構，T (S)為通過公理化建立的一階系統，令S*是T (S)的一個模型，如果S*和S同構，就稱S*為T (S)的一個標準模型；如果S*和S不同構，就稱S*為T (S)的一個非標準模型。對自然數的算術N來說，通過公理化可以建立一階形式算術系統N ，如果N 的模型N*與N同構，那么N*就是N 的標準模型，亦稱標準算術；反之如果N*與N不同構，那么N*就是N 的非標準模型，亦稱非標準算術。對實數R也可作類似處理，先建立一階實數的形式系統R，此時R的模型R*如果與R同構，那么就是標準實數，反之就是非標準實數。
Peano算術公理
令
，其中“+”、“·”是二元函式符號，s是一元函式符號，稱作後繼函式，0為常量符號。Peano算術公理包括：
(1)
(2)
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
；
(7)推理公理
：
注意，公理 揭示了Peano算術的歸納推理規則：若有
，設
(1)
；
(2) 若
，就有
，
則必有
。此即Peano算術的數學歸納法。
稱模型
為標準算術模型，其中“+”、“”分別是自然數的加法與乘法，s是後繼函式，
，0是通常的自然數零。顯然
滿足Peano算術公理。其他滿足Peano公理但不與 同構的模型統稱非標準算術模型。
背景介紹
在數學中，非歐幾何中就是靠引進模型才論證了非歐幾何公理系統是不矛盾的。但一直到1950年左右，模型論才正式成為一門新學科。主要標誌就是1949年亨金髮表的完全性定理的新證明、在1950年國際數學家大會上塔爾斯基與羅賓遜的報告，以及1951年羅賓遜《代數的元數學》的發表。
自此之後，模型論大致可分為兩條路線，一條是美國西海岸的斯科蘭姆-塔爾斯基路線，他們從20世紀40年代起就由數論、分析、集合論的問題所推動，強調研究一階邏輯所有公式的集合模型。另一條是美國東海岸的羅賓遜路線，他們的問題由抽象代數的問題所推動，它強調無量詞公式集與存在公式集。關於兩塊量詞的理論很多，它們有許多套用。羅賓遜的主要用於域論，前蘇聯馬爾切夫等人的主要用於群論。
屬於純粹模型論主題的最早的定理有兩個，一個是勒文海姆的定理。他在1915年證明每一組有限多公理如果有模型的話，則它也有一個可數模型。這個定理可推廣到有可數個公理的情況。另一個定理是緊緻性定理。20世紀30年代，哥德爾對可數語言證明緊緻性定理，1936年蘇聯馬爾切夫推廣到不可數語言。緊緻性定理在代數學方面有許多套用。這兩個定理都肯定某種模型的存在性，特別是勒文海姆-斯柯倫定理及緊緻性定理指出有想不到的特別大的模型存在。最明顯的就是自然數集合的皮亞諾公理(Peano Axiom)（其中歸納公理加以改變），不僅有通常的自然集N為其標準模型（即包括可數多個元素），還有包括不可數多個元素的模型，這就是所謂的非標準算術模型。第一個非標準算術模型是由斯柯倫在1934年首先構造出來的。這兩個定理的證明都依賴於造模型的方法。
對於數學理論最重要的事是公理化。在模型論中，公理數目可以有限多，稱為有限可公理化的理論。這類理論有；群、交換群、環、整域、域、有序域、全序集、格、布爾( Boole)代數、貝納斯-哥德爾集合論，等等。許多重要理論是不能有限公理化的，其中一部分是遞歸可公理化的。如可分群、無撓群、特徵0的域、代數封閉域、實封閉域、有限域、尤其重要的是皮亞諾算術和ZF集合論，而有限群論甚至連遞歸可公理化都不行。
一個理論是遞歸可公理化的充分必要條件是：它的所有推論集合是遞歸可枚舉的。通常它不一定是遞歸的，如果是遞歸的，則稱為可判定的。可以證明，每個完全、遞歸可公理化理論是可判定的。因此利用模型論的有力工具可以得出判定理論的一些結果，如早在1948年塔爾斯基等人證明，實閉域理論是完全的，因此是可判定的。
早在19世紀，數學家利用造模型的方法來肯定非歐幾何的真實性，他們造過許多模型，但這些模型本質上沒有區別，也就是“同構”。在20世紀初，數學家一般認為，一個理論的模型都是同構的，如自然數理論就是皮亞諾公理所刻畫的一種。
但是這種想法很快就由於自然數非標準模型的存在而被打破，所以人們又在模型論當中引進重要的概念——範疇性：一個理論或一組公式如果其所有模型均同構，它就稱為範疇的。實際上，這對於形式系統（或公理系統）是僅次於協調性（無矛盾性）、完全性、獨立性之後的第四個重要要求。但是這個要求實在太強了，實際上，只要一個理論有一個無窮模型，那么它就不是範疇的，所以我們把範疇性的要求降低。
模型論給數學帶來許多新結果，我們大致可以分成3大部分：在代數方面的套用主要是群論和域論；在分析方面的套用主要是非標準分析；在拓撲學、代數幾何學方面的套用主要是拓撲斯理論。
模型論在代數學中最早的套用是量詞的消去，早在20世紀30年代，就由此得到了整數加法群的判定步驟，塔爾斯基得到實數的可定義集和實數域的判定步驟。
1960年以後，數理邏輯的發展逐步影響到數學本身，因而重新引起數學家們的注意，特別是集合論與模型論的結果不斷衝擊數學本身。模型論在解決代數問題方面顯示巨大威力，特別是艾柯斯(Eco)及柯辰(Kozen)解決了著名的阿廷猜想（Artin Conjecture），這個問題曾使代數學家為難了幾十年。
最近，非標準分析在分析、微分幾何學、代數幾何學、拓撲學有一系列的套用，使數學家對非標準分析也不得不另眼相看了，特別是非標準拓撲和非標推測度論近來更是有重要的突破。
非標難測度論已經得出許多新的“標準”結果，如關於測度的擴張、位勢理論、布朗( Brown)運動理論、隨機微分方程、最優控制理論，甚至運用到數理經濟學及高分子物理化學當中。其中關鍵來自1975年洛布(Lob)的工作。他從非標準測度空間能造出豐富的標準測度空間，使得非標準分析真正能對標準數學作出自己的貢獻。
拓撲斯是現代數學的最新基礎，它反映了數理邏輯與範疇論的結合。範疇論大約在20世紀60年代初由同調代數學脫穎而出，而同調代數則在20世紀40年代末到60年代初由代數拓撲學發展而來。代數拓撲學則是用群、環、域、模等代數結構來刻畫幾何圖形的拓撲結構。同調代數學則用代數結構來刻畫代數結構，比如說一組群與另一組群的對應關係。把這個組發展到集合或其他任何結構，研究範疇與範疇之間的關係就是範疇論。
我們可以考慮幾何的範疇和範疇的範疇。1963年出現了層的範疇，這就是拓撲斯。拓撲斯使範疇方法迅速推廣到其他數學分支中去。1970年，勞威爾(Lawvere)等人引進一種特殊的範疇——初等拓撲斯，幾年之後，並證明了一個重要結果：一個初等拓撲斯正好是高階直覺主義集合論的模型。因此．初等拓撲斯就像集合一樣成為數學的基礎，而且更接近數學的內容。
