《非對稱矩陣最佳化問題的靈敏度分析、算法及其套用》是依託瀋陽航空航天大學，由劉勇進擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非對稱矩陣最佳化問題的靈敏度分析、算法及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：劉勇進
- 依託單位：瀋陽航空航天大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
非對稱矩陣最佳化問題是一類重要的矩陣最佳化問題,它在套用統計、數值逼近、壓縮感知等科學和工程領域有著廣泛的套用。與對稱矩陣最佳化問題相比，非對稱矩陣最佳化問題的研究成果相對較少，已不能滿足實際的需求，因此對非對稱矩陣最佳化問題靈敏度分析、算法及其套用的研究意義重大。本項目旨在以奇異值等矩陣理論、半光滑理論、相關的變分分析和擾動分析理論為基礎，針對某些具體的包括譜範數與核範數錐在內的幾種非對稱矩陣最佳化問題進行靈敏度分析和算法研究。通過研究非對稱矩陣最佳化問題相關投影運算元的性質，以期在某種約束規範下，得到強二階充分性條件、KKT 點的強正則性、KKT系統對應函式Clarke 廣義Jacobian陣的非奇異性、局部最優解的強穩定性等條件的等價關係，進而用於刻畫非對稱矩陣最佳化問題算法（如增廣Lagrangian方法）的局部收斂性，並研製算法的matlab軟體，期望為非對稱矩陣最佳化問題的理論研究與套用作出貢獻。
結題摘要
非對稱矩陣最佳化問題是在數值逼近、套用統計、壓縮感知等科學工程領域有著廣泛的套用。本項目針對具有重要科學意義和套用價值的非對稱矩陣最佳化問題，如譜範數矩陣逼近問題、加權1範數上圖最佳化問題等，開展相關最佳化問題的靈敏性分析和算法設計。項目在靈敏性分析和算法設計兩方面均取得了一些重要的研究進展，其重要結果可概括如下：在理論研究方面，本項目以半光滑理論以及相關的變分分析和擾動分析理論為基礎，針對具體非對稱矩陣最佳化問題的靈敏性進行分析，得到了：在某種約束規範下，強二階充分性條件、KKT 點的強正則性、 KKT系統 Clarke 對應函式廣義Jacobian陣的非奇異性、局部最優解的強穩定性等一系列條件之間的等價關係，並刻畫了相應最佳化問題KKT點平穩性的等價條件，這部分的研究結果為相關最佳化問題的算法設計奠定了理論基礎。在算法設計方面，本項目研究了非對稱矩陣譜範數逼近最佳化問題和加權1範數最佳化問題的鄰近點算法等高效、快速算法，利用本項目靈敏性分析得到的理論成果，討論了算法的局部收斂性，並有效研製了算法的MATLAB程式。通過與現有常用的算法比較，大量的數值結果表明，項目提出的算法更高效、更快速，並能求解更大規模的最佳化問題。 項目的研究成果在矩陣逼近、壓縮感知、信號處理、統計分析等眾多領域有著廣泛的套用，可套用到機器學習、深度學習、人工智慧等重要且具有廣泛科學價值的領域。項目研究成果以論文形式呈現，已接受發表學術論文13篇，發表期刊包括最佳化頂級SCI期刊Mathematical Programming, Series A和有重要影響的最佳化SCI期刊Computational Optimization and Applications，Set-Valued and Variational Analysis，Mathematical Methods of Operations Research，Pacific Journal of Optimization等。項目共培養碩士研究生6人，他們畢業論文的選題和研究內容均與本項目的研究息息相關。
