非唯一分解理論和Thue型方程

《非唯一分解理論和Thue型方程》是依託華南師範大學，由袁平之擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：非唯一分解理論和Thue型方程
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：袁平之
• 依託單位：華南師範大學

項目摘要

非唯一分解理論是數論、組合和代數的一個熱門交叉研究方向。本項目將致力於用組合技術、代數方法、數論技巧、群環和加群特徵標理論等研究非唯一分解理論中有關分解長度集合的一些不變數及相關的零和問題、半分解整環的刻畫、分類和擴張問題以及代數整數環中代數整數的分解刻畫，所得結論將豐富非唯一分解理論的內容。同時還將用代數數論方法、Gap技術、Thue-Siegel方法和柯召方法來研究Thue型方程以及與Thue型方程有關的一系列不定方程，所得成果將進一步完善Thue型方程理論。

結題摘要

本項目主要研究非唯一分解理論和Thue型方程問題。 在非唯一分解理論與零和問題的研究中， 我們重點研究有限循環群 上的不可分零和序列的結構、極小零和序列的Index和一些常數的刻畫與計算。我們在此方面的研究方面取得了較大的突破，我們完全刻畫了有限循環群 上的所有長度大於 不可分零和序列的結構，在此之前最好的結論是由袁平之、Savchen和Chen於2007年獨立得到的，他們完全刻畫了有限循環群 上的所有長度大於 不可分零和序列的結構，這一結論在零和問題和非唯一分解理論有非常重要的套用。袁平之的2007年發表在JCTA的論文已經被引用31次（Math. Reviews）。同時，我們否決了高維東教授2000年關於最大Index的猜想。高教授猜想為：有限循環群 上極小零和序列的最大Index小於 ，其中 為絕對常數. 我們的例子表明了最大的Index大於 。我們還在一類常數的刻畫方面取得不錯的進展。 在Thue型方程的研究方面，我們重點研究了幾類指數不定方程，這也是這一方面最近幾年不定方程研究的熱點之一。 特別我們得到了商高猜測方面的重要進展，我們的結論較大地改進了現有的大多數結論。 這一期間我們還在有限域上置換多項式的構造和圖論中的張量這兩個方面的研究方面取得重要進展。有限域上置換多項式是數論套用的一個重要的研究課題，它的研究有重要的理論意義和套用價值.最近幾年來，關於這一方面的研究有較大地突破，我們也在這一方面做出了一點貢獻。例如：我們給出了著名的“AGW準則”的一個有益的註解和一些有價值的套用，這一期間我們在“FFA、DCC、SJDM”等國際權威期刊上發表了6篇高質量的論文。在圖論的張量理論的研究方面，主要得益於與尤利華教授和我的碩士研究生何子龍的有益討論. 我們完全解決了著名圖論專家邵嘉裕教授提出的關於張量的本原指數的猜測，並對本原指數集進行了系統的研究。