雙球坐標系

雙球坐標系（英語：Bispherical coordinates）是一種三維正交坐標系。

基本介紹

• 中文名：雙球坐標系
• 外文名：Bispherical coordinates

簡介

雙球坐標系（英語：Bispherical coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維雙極坐標系包含於 xz-平面。設定這雙極坐標系的兩個焦點 包含於 z-軸。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到雙球坐標系。在這二維雙極坐標系裡，坐標 的等值曲線是圓圈。 經過旋轉後，圓圈變成一個環面，而圓圈的圓心變成一個包含於 xy-平面的圓圈，稱為環心圓。稱環心圓至環面的距離為環小半徑。

基本定義

在三維空間裡，一個點 P 的雙球坐標 最常見的定義是

其中，(x,y,z)是直角坐標， 坐標是的弧度， 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 的比例的自然對數：

坐標曲面

每一個紅色的 -坐標曲面都是包含了兩個焦點環面。每一個環面的環心圓都不相同。這些環心圓都包含於 xy-平面。環小半徑為

當絕對值增加時，環小半徑會減小，環心圓會靠近原點。當環心圓與原點同點時，達到最大值。

每一個藍色的-坐標曲面都是不相交的圓球面。每一個圓球面都包圍著一個焦點；圓球心都包含於 z-軸。圓球半徑為

它們的圓球心都包含於 z-軸。正值的圓球面在z>0半空間；而負值的圓球面在z<0 半空間。曲線則與 xy-平面同平面。當值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

標度因子

雙球坐標的標度因子相等：

方位角的標度因子為

無窮小體積元素是

拉普拉斯運算元是

其它微分運算元，像，都可以用坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

套用

雙球坐標有一個經典的套用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式里，雙球坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個不同半徑的圓球導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？套用雙球坐標，我們可以精緻地分析這個問題。