隨機辛算法和多辛算法

《隨機辛算法和多辛算法》是依託中國科學院大學，由王麗瑾擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：隨機辛算法和多辛算法
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：王麗瑾
• 依託單位：中國科學院大學

項目摘要

本項目圍繞兩個課題進行研究。課題一：隨機Hamilton常微分方程辛算法，研究基於分裂法，複合法，Pade逼近和隨機積分插值的隨機辛算法的構造、收斂階分析和數值實驗。這些方法屬於基於方程本身的算法，是三大類構造辛算法的途徑之一，項目旨在將確定性辛算法基於這一途徑的方法推廣到隨機系統。此外，利用我們前期關於隨機生成函式的研究結果對隨機辛算法進行向後誤差分析；課題二：隨機多辛Hamilton偏微分方程的多辛算法，包括時間上採用分裂步、指數積分子等方法構造隨機多辛格式，以及空間上採用有限元、擬譜、高維空間採用分裂方法等構造隨機多辛格式，並將這些格式套用於一些物理中的方程，研究其長時行為和保結構特性。

結題摘要

隨機哈密頓系統的隨機辛算法的較為系統的研究始於2002年，Milstein等在 SIAM J. Numer. Analy. 發表了兩篇關於隨機辛算法的論文，其中證明了隨機哈密頓系統相流幾乎處處保辛結構，並給出了可加和可乘噪聲情形下一些隨機辛算法的構造和分析。之後，出現了基於隨機生成函式和隨機變分積分子兩大類系統性的構造隨機辛算法的方法。本項目從另一個途徑-隨機微分方程本身出發，構造隨機辛算法和近辛算法，主要研究了基於Pade逼近、分段線性插值、李代數方法、指數離散梯度方法等的隨機辛算法和近辛算法的構造，及分析；此外，我們研究了弱收斂隨機辛算法向後誤差分析，利用隨機生成函式建立了隨機弱收斂辛算法的隨機修正方程，並證明其修正方程仍為隨機哈密頓系統，是原系統的h-擾動系統；2013年我們發表在 Commun. Comput. Phys. 的論文曾揭示了具有隨機多辛幾何結構的隨機哈密頓偏微分方程，及隨機多辛幾何算法的刻畫，本項目中，我們對隨機多辛哈密頓偏微分方程的隨機多辛幾何算法進行了更為深入的研究，主要包括隨機Maxwell方程、隨機Schrodinger方程等的隨機多辛幾何算法的構造、收斂性、保結構特性的分析，隨機多辛 Runge-Kutta 方法的多辛條件、構造和分析，隨機辛局部間斷Galerkin方法、緊緻格式的構造、收斂性、穩定性、保結構特性的分析，等；同時，我們研究了隨機微分方程若干高效算法的設計和分析，如隨機剛性方程的隨機計算奇異擾動算法、變數變換方法，隨機L-G 型方程的隨機指數離散梯度算法，及其收斂性、保結構特性的分析，等。項目研究成果是對隨機辛算法和多辛算法、隨機保結構算法，以及一些類型的隨機微分方程高效算法研究的豐富和發展。