隨機矩陣的普適性理論及其套用

《隨機矩陣的普適性理論及其套用》是依託浙江大學，由蘇中根擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：隨機矩陣的普適性理論及其套用
• 依託單位：浙江大學
• 項目負責人：蘇中根
• 項目類別：面上項目

項目摘要

本項目致力於研究經典隨機矩陣模型GUE經變化後所生成的各種矩陣模型， 如酉不變族、β矩陣族、Wigner矩陣模型和行列式點過程等。主要研究內容包括：系統而深入地探討這些模型的特徵根（隨機點過程）所遵循的普適性原理，揭示相應隨機現象的內在規律；廣泛地運用普適性原理求解各種譜統計量的極限分布及其分析性質；充分地運用隨機矩陣的漸近分布理論分析高維數據等實際問題。主要研究方法有：求解Riemann-Hilbert 問題，獲得正交多項式在整個複平面上的精確漸近性質；利用Edelman的稀疏矩陣表示， 通過矩方法獲得有效的遞推公式，尋求參數β的依賴性；更精細地利用Stieltijes變換，獲得經驗譜分布和極限分布之間的誤差估計；建立有效的比較原則，將Wigner一般模型和特殊的矩陣模型作比較。 .通過本項目的研究，可以更深入地理解隨機矩陣在數學、物理、統計等學科中的重要作用，豐富和發展機率極限理論。

結題摘要

本項目主要研究內容為經典隨機矩陣（特別Gauss Unitary Ensembles）的各種變化形式， 如酉矩陣、 HβE、擾動Wigner矩陣、樣本協方差矩陣。 著重研究特徵根統計量的漸近分布理論，揭示隨機矩陣分布規律的普適性原理及其套用。代表性成果包括：（1）獲得了HβE模型的特徵根局部半圓律，正特徵根個數的漸近正態性；（2）建立了對角擾動隨機Wigner矩陣線性譜統計量的漸近常態分配，但需要適當規範化；（3）通過比較原理， 克服相依性困難， 獲得相關係數矩陣最大特徵根的Tracy-Widom律； （4）建立了部分特徵根部分和過程的弱收斂性；（5）探索隨機矩陣普適性原理到高維數據分析中的套用， 研究了大維數據的球性檢驗和可分性協方差結構檢驗，構造出檢驗統計量， 並在一般情形下（非正態總體），建立漸近常態分配；（6）利用隨機矩陣研究中的思想和方法，研究了乘性測度下， 隨機整數劃分在內點處滿足中心極限定理；（7） 研究了隨機三角多項式的零點個數， 得到方差的精確估計。 主要技術工具包括：鞅差表示及中心極限定理；廣義Stein 方程及遞推關係；Stieltjes變換；經典獨立隨機變數和的極限定理。 通過項目組全體成員的共同努力，順利完成項目計畫，取得了一些重要成果， 積累了大量經驗。 特別， 通過本項目的實施， 有機會培養一些年輕教師和研究生。