隨機時滯系統

隨機系統是指該系統的輸入輸出或干擾存在隨機因素，或者系統本身具有某種不確定性。

當前狀態的變化率不僅與當前時刻的狀態有關，而且也依賴於過去某時刻或某段時間的狀態，這種特性稱為時滯。

隨機時滯系統是指具有時滯特性的隨機系統。

基本介紹

• 中文名：隨機時滯系統
• 外文名：Stochastic time-delay system
• 類別：控制科學與工程
• 基礎：隨機系統、時滯系統
• 前景：降低穩定性條件的保守性等
• 隨機函式定義：1923年

基本概念

時滯系統

眾所周知，有許多實際的系統，譬如，通訊系統、電力系統、網路傳輸系統等，其當前狀態都不可避免地受到過去狀態的影響，即當前狀態的變化率不僅與當前時刻的狀態有關，而且也依賴於過去某時刻或某段時間的狀態。系統的這種特性稱為時滯，具有時滯的系統稱為時滯系統。在研究自然界客觀事物的運動規律時由於其複雜性和多樣性，總是不可避免地存在滯後現象.因此時滯與時滯系統是現實生活與工程技術中普遍遇到的一個實際問題。它起源於18世紀，在20世紀初期，伴隨著系統建模的發展而受到了廣泛的重視.在上世紀50和60年代就已經建立起了時滯系統的相關概念和基本理論，並被表達為各種不同的數學模型，現在主要採用泛函微分方程模型的形式。

時滯的存在，一方面使得系統的動態性能變差甚至導致系統不穩定。另一方面，在某些控制系統中人們又可以利用時滯改善控制效果，譬如在重複控制系統中以及有限時間穩定性控制等，都需要利用時滯來達到該目的。這樣為了更好地利用時滯來解決實際問題以及避免其不利後果，人們很有必要從理論角度分析與了解時滯對動態系統的影響。

隨機系統

1907年前後，馬爾可夫(A.A.Markov)發現了一列有某種相依性的隨機變數，其稱為馬爾可夫鏈。1923年，維納(N. Wiener)給出了至今仍然很重要的研究對象的數學定義一布朗運動。即使如此，我們通常認為隨機過程一般理論是在30年代開始研究。30年代初，柯爾莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov)和辛欽(A.Y.Khinchin)分別發表了《機率論的解析方法》、《平穩過程的相關理論》，為馬爾可夫過程與平穩過程發展提供了理論依據。萊維(P.Levi)在前人的基礎上深入研究布朗運動與可加過程，結合機率知識進行考慮，形成書籍將其出版。1953年，杜布出版了《隨機過程論》，書中對隨機過程的相關理論給予了詳細的講述。1951年，伊藤清(Kiyoshi)在布朗運動方面提出了隨機微分方程的理論。近年來，人們開始討論了關於半靴的隨機微分方程。60年代，法國數學家發展了隨機過程的一般理論，他們主要是從馬爾可夫過程和位勢理論出發。中國學者則在平穩過程、馬爾可夫過程、靴論、極限定理、隨機微分方程等方面取得了較好的成績。

國內外研究現狀及分析

隨機系統是指該系統的輸入輸出或干擾存在隨機因素，或者系統本身具有某種不確定性。在上個世紀初的前幾十年里，經過眾多科學家的深入研究，為之後理論研究者打下堅實的理論基礎。1827年布朗(R. Brown)在顯微鏡下花粉微粒在水中不停的做不規則的折線運動，後來把懸浮花粉微粒的這種運動叫做布朗運動，但是人們長期都不知道這其中的原理。直到1905年，愛因斯坦(A.Einstein)率先對布朗運動做出了解釋。1906年，馬爾可夫(A.A.Markov)在1906年，研究了一種狀態序列，每個狀態值都取決於前面的有限個狀態，這種序列被稱之為馬爾可夫鏈。1923年，維納(N. Wiener)最先對隨機函式進行定義。維納給出了連續而不可微函式的物理特徵，並得出了布朗運動的一種物理模型；由於維納的相關研究成果，布朗運動也被稱為維納過程。

由於許多實際控制系統中存在各種各樣的隨機干擾因素，利用常微分方程己無法準確的表述。日本數學家伊藤清在1944年和1946年的兩份著作建立了隨機積分(stochastic calculus)和隨機微分方程(stochastic differential equation)的理論基礎，被認為是隨機分析的開創者。伊藤清的研究成果也為數學研究開創了一個重大分支。1951年伊藤清(Kiyoshi)發表的伊藤引理，為之後的理論研究學者提供隨機系統分析和研究的基本定理。

由於隨機時滯系統具有重大的實際研究意義和實用價值，近年來國內外研究學者針對隨機時滯系統進行了廣泛的研究，在隨機時滯系統相關理論的研究上也取得了非常多實際套用成果。有的文獻利用線性矩陣不等式(LMI)方法，設計了一類離散時滯不確定隨機系統的H∞靜態輸出反饋控制器。有的文獻針對隨機時滯系統，利用輸入輸出的方法，研究了系統的H∞控制和濾波。有的文獻利用奇異值分解方法，對隨機時滯系統中的非線性項進行解禍，基於魯棒漸近穩定設計了系統的觀測器。有的文獻針對中立型隨機系統，分別研究了其穩定性問題；其中有一個文獻基於均方穩定設計了系統動態輸出反饋控制器。陳雲等通過把積分不等式和矩陣自由加權方法引入到隨機時滯系統的分析中，研究了隨機時滯系統的穩定性分析，以及魯棒H∞控制、反饋控制、魯棒L2 - L∞濾波等問題。近幾年，隨機時滯系統穩定性分析和研究得到很多關注。有的文獻針對一類非線性不確定的隨機時滯系統，提出新的指數穩定性和延遲量狀態反饋穩定標準，提出的方法可以減少計算複雜度和結果的保守性。有的文獻研究了一類不確定隨機Markov跳躍時滯系統的魯棒H∞指數濾波問題，利用Lyapunov-Kras ovskii穩定性理論和Finder引理，建立了濾波器存在的時滯相關條件，解決了模型變換方法的保守型問題，以及避免了矩陣自由加權產生的繁瑣的計算。有的文獻利用LKF方法，並將時滯劃分方法引入到到隨機時滯系統中，從而得到了保守性小的穩定性條件。此外，隨著計算機技術的發展，對隨機系統的仿真、數值計算方面的研究成果也日益增多。

隨機時滯控制系統

隨機系統是指該系統的輸入輸出或干擾存在隨機因素，或者系統本身具有某種不確定性。隨機系統理論，始於高斯(Gauss)研究行星軌道時所提出的最小二乘法。1827年布朗(R. Brown)在觀察花粉顆粒的運動時，發現布朗運動。1905年愛因斯坦(A.Einstein)基於擴散方程建立了布朗運動的統計理論，第一次利用物理學原理解釋布朗運動。1907年前後，馬爾可夫(A.A.Markov)研究過一列相依的隨機變數，即馬爾可夫鏈。1923年維納(N. Wiener)在理論上對布朗運動作了數學描述。

由於隨機干擾因素的存在，許多實際系統都不能使用常微分方程進行精確的描述。對於此類隨機系統，需要利用隨機微分方程來進行刻畫。1944年口本數學家伊藤清(Kiyoshi)對布朗運動率先引進隨機積分，這個重大的理論的提出形成了新的數學研究分支。1951年伊藤清進一步引進了伊藤公式，用於計算隨機微分，並推廣成一般的變元替換公式，從而形成了隨機分析的基本定理。

近年來，在隨機時滯系統的穩定性的研究和系統的綜合上取得了許多有意義的成果。有的文獻研究了隨機時滯系統的魯棒漸近穩定性問題，利用奇異值分解的方法將矩陣中的非線性項進行解耦，設計了其基於觀測器的H∞控制器。有的文獻針對隨機中立系統，設計了其基於均方穩定的動態輸出反饋控制器，給出了一種將輸出動態反饋控制器的求解問題轉化為凸最佳化問題的構造方法。有的文獻將輸入輸出方法進行了推廣，討論了隨機時滯系統的H∞控制和濾波問題。有的文獻針對一類離散時滯不確定隨機系統，使用線性矩陣不等式(LMI)方法設計了H∞靜態輸出反饋控制器。

研究前景

隨機時滯系統有許多有待研究的課題，如：
(a)實際系統中不僅存在時滯現象與外部擾動，而且還常常伴有不確定性，因而研究不確定隨機時滯系統的穩定性很有必要；
(b)在隨機時滯系統中，時滯項不僅存在於系統的狀態中還有可能存在於狀態的導數中，這樣的系統稱為中立型系統，目前這方面所做的工作還很少；
(c)通常我們研究的隨機時滯系統都是連續的，而有的系統要求我們將連續的系統離散化，因而研究離散的隨機時滯系統的穩定性就很有意義；
(d)目前，研究隨機時滯系統時滯相關的穩定性條件成為熱點問題，因此，如何降低穩定性條件的保守性值得我們深入研究。