阿爾漢蓋路斯基度量化定理(Arhangel'skiimetrization theorem)是著名的度量化定理。阿爾漢蓋路斯基(Архангельский，А.)於1960年引進了拓撲空間的正則基與點正則基概念，並證明了兩個度量化定理。
基本介紹
- 中文名：阿爾漢蓋路斯基度量化定理
- 外文名：Arhangel'skiimetrization theorem
- 領域：數學
- 學科：拓撲
- 性質：度量化定理
- 提出：阿爾漢蓋路斯基
概念,拓撲空間,可度量化空間,
概念
阿爾漢蓋路斯基度量化定理(Arhangel'skiimetrization theorem)是著名的度量化定理。阿爾漢蓋路斯基(Архангельский，А.)於1960年引進了拓撲空間的正則基與點正則基概念，並證明了下面兩個度量化定理：
1.拓撲空間X可度量化若且唯若X是T1空間且具有正則基。
2.拓撲空間X可度量化若且唯若X是族正規的且具有點正則基。
拓撲空間X的基B稱為正則的，若對於任意x∈X與x的任意鄰域U，存在x的鄰域V
U，使得B中與V及X-U同時相交的元只有有限多個。B稱為點正則的，若對於任意x∈X與x的任意鄰域U，B中含x且與X-U相交的元只有有限個.每一個正則基是點正則的。
拓撲空間
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
可度量化空間
可度量化空間是一類特殊的拓撲空間。設X是拓撲空間。若在集合X上存在一個度量d，使得X上由d誘導的拓撲和X上原來的拓撲一致，則稱X為可度量化空間。關於拓撲空間可度量化的充分必要條件的探索是一般拓撲學中最古老、產生問題最多的課題之一。亞歷山德羅夫(Александров，П.С.)和烏雷松(Урысон，П.С.)早於1923年用開覆蓋列上的一個特殊條件提供了一個答案。大約在10年後，穆爾(Moore，R.L.)稍微改變了他們的條件，瓊斯(Jones，F.B.)於1937年稱這樣的空間為穆爾空間。度量空間是穆爾空間，反之未必成立。於是，關於可度量化定理的研究轉變為精確地確定什麼樣的穆爾空間是可度量化的。最有名的猜測是每個正規穆爾空間是可度量化的。最近50年裡對這個猜測的研究在一般拓撲學的發展中起著重要的作用。瓊斯於1937年指出，每個可分正規穆爾空間是可度量化的。賓(Bing，R.H.)和永見(Nagami，K.)指出每個仿緊穆爾空間是可度量化的。西爾弗(Silver，J.H.)於1970年用科恩模型指出正規穆爾空間猜測本身不能用現有的集論公理證明。周浩旋於1979年在附加集論假設MA+CH下，證明了存在不可度量化的穆爾空間。由此可見，可度量化問題的研究與公理集合論有密切的聯繫。
