阿基米德折弦定理

阿基米德（Archimedes，公元前287～公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數學家之一。他與牛頓、高斯並稱為三大數學王子。如果以他們三人的宏偉業績和所處的時代背景來比較，或拿他們影響當代和後世的深邃久遠來比較，還應首推阿基米德。他甚至被人尊稱為“數學之神”。

英國人希思（T?L?Heath，1861～1940）編的《阿基米德全集》未見收錄，當然我國在1998年根據希思本由朱恩寬、李文銘譯，葉彥潤、常心怡校的中文版《阿基米德全集》（陝西科技出版社）也就沒有收錄阿基米德折弦定理。（雖然這本全集中未收錄折弦定理，但一些競賽書上還是給予了介紹）

阿拉伯Al-Biruni（973年～1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容，蘇聯在1964年根據Al-Biruni本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理。

阿基米德折弦定理：一個圓中一條折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點。

如圖中所示，AB和BC組成圓的折弦，AB>BC，M是弧ABC的中點，MF⊥AB，垂點為F。則AF=BF+BC

基本介紹

• 中文名：阿基米德折弦定理
• 提出者：阿基米德
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：幾何

定理定義

AB和BC是⊙O的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），BC>AB，M是弧ABC的中點，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD。

定義：從圓周上任一點出發的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。

驗證推導

該定理常規的證明方法有以下幾種：

方法1：補短法

如圖，延長DB至F，使BF=BA

∵M是弧ABC的中點

∴∠MCA=∠MAC=∠MBC

∵MBAC四點共圓

∴∠MCA+∠MBA=180°

∵∠MBC+∠MBF=180°

∴∠MBA=∠MBF

∵MB=MB,BF=BA

∴△MBF≌△MBA

∴∠F=∠MAB=∠MCB

∴MF=MC

∵MD⊥CF

∴CD=DF=DB+BF=AB+BD

方法2：截長法

如圖，在CD上截取DG=DB

∵MD⊥BG

∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC

∵M是弧ABC的中點

∴∠MAC=∠MCA=∠MGB

即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA

又∠MGB=∠MCB+∠GMC

∴∠BMA=∠GMC

∵MA=MC

∴△MBA≌△MGC

∴AB=GC

∴CD=CG+GD=AB+BD

方法3：垂線法

如圖，作MH⊥射線AB，垂足為H。

∵M是弧ABC的中點

∴MA=MC

∵MD⊥BC

∴∠MDC=90°=∠H

∵∠MAB=∠MCB

∴△MHA≌△MDC

∴AH=CD，MH=MD

又∵MB=MB

∴Rt△MHB≌Rt△MDB

∴HB=BD

∴CD=AH=AB+BH=AB+BD

定理推廣

推論

推論1

推論1：設M是弧AC的中點，在弧AM上取一點B，連線AB、MB、MC、BC，那么MC²-MB²=BC*AB

證明：如圖，作MD⊥BC，由勾股定理得

MC²=CD²+MD²

MB²=BD²+MD²

∴MC²-MB²=CD²-BD²=（CD+BD）（CD-BD）=BC*AB

推論2

推論2：設M是弧AC的中點，B在圓上，且在弧AMC外。連線AB、AC、MB、MC，那么MB²-MC²=AB*BC

證明：如圖，取弧ABC的中點N，連線MN
　　

由推論1可知AB*BC=NC²-NB²

∵M是弧AC的中點，易得弧CN=弧ABC/2，弧CM=弧AC/2

且弧ABC+弧AMC=圓周360°

∴弧CN+弧CM=弧MN=180°

∴MN是直徑

∵C、B在圓上

∴∠MCN=∠MBN=90°

勾股定理得NC²+MC²=NB²+MB²=MN²

∴NC²-NB²=MB²-MC²=AB*BC

逆定理

設D是△ABC邊BC上一點，且AB+BD=CD。作△ABC的外接圓，有如下逆定理：

逆定理1

取弧ABC的中點M，連線MD，則MD⊥BC。

證明：不妨作MD‘⊥BC於D’，根據定理有AB+BD‘=CD’

∵AB+BD=CD

∴CD'-BD'=CD-BD=AB

∴D與D'重合

∴MD⊥BC

逆定理2

作DM⊥BC交弧ABC於M，則M是弧ABC的中點。

證明：不妨取弧ABC中點M'，由逆定理1可知M'D⊥BC

∵MD⊥BC，且M在弧ABC上

∴M與M’重合

∴M是弧ABC的中點